本书是一本黎曼几何的入门教材,内容包括:微分流形引论、张量分析、黎曼几何基础、测地线理论及子流形几何。本书对研究黎曼几何的三种表示法——不变形式法、活动标架法和自然坐标法——作了统一的处理,介绍了微分流形与黎曼几何中的各种基本概念和技巧,兼顾到经典理论和近代进展的内容,以使读者在学完本教程后能独立从事研究工作。修订版还增加了6个附录,以适应读者进一步的要求。
本书可作为综合性大学、师范院校数学系各专业高年级选修课教材及研究生教材,也可供数学和物理学工作者参考。

**章 准备知识
1 欧氏空间的映射
1.1 映射的微分链规则
1.2 反函数定理
1.3 秩定理
1.4 Sard定理
2 多重线性代数
2.1 向量空间对偶空间
2.2 张量积张量代数
2.3 对称和反(对)称张量
2.4 外代数
2.5 欧氏向量空间
习题
第二章 微分流形
1 微分流形的基本概念
1.1 微分流形的定义
1.2 实射影空间P2(R)Grassmann流形
1.3 流形的映射
1.4 浸入与淹没子流形
1.5 单位分解
习题
2 向量场
2.1 切空间切映射
2.2 切丛向量场
2.3 单参数变换群
2.4 分布Frobenius定理叶状结构
习题
3 张量场
3.1 张量场
3.2 外微分
3.3 黎曼度量
习题
4 流形上的积分Stokes定理
4.1 流形的定向
4.2 带边界流形
4.3 流形上的积分Stokes定理
习题
第三章 联络与曲率
1 仿射联络
1.1 Rm及其子流形上的联络
1.2 微分流形上的仿射联络
1.3 仿射联络的挠率和曲率
习题
2 黎曼联络
2.1 黎曼联络
2.2 共变微分
习题
3 曲率
3.1 曲率张量
3.2 截面曲率:Ricci曲率纯量曲率
3.3 共形变换
习题
4 调和形式
4.1 Hodge星算子
4.2 Laplace—Behrami算子
4.3 Hodge定理及其几何应用
习题
第四章 测地线
1 测地线与测地完备性
1.1 测地线与指数映射法坐标系
1.2 测地完备性
习题
2 弧长的变分
2.1 弧长的变分
2.2 Jacobi场
2.3 共轭点
习题
3 曲率与拓扑
3.1 指标引理:Myers定理
……
第五章 黎曼子流形
附录I 常微分方程组存在定理
附录II Sard定理
附录III 黎曼淹没
附录IV 广义极大原理
附录V Lie群初貌
附录VI 主丛上的联络
附录VII 黎曼流形的收敛性和有限性
附录VIII 复流形与复几何初步
附录X Ricci流简介
参考文献
索引