临界非线性问题，又称极限非线性问题，是数学物理中的一类现象，刻画这类现象的偏微分方程所对应的变分泛函不满足全局紧性条件，或者说处在紧性条件的边缘，这样，经典的变分法便不能用于解决这些问题，而几何、物理中许多**问题正处于这种境况。

I 预备知识
**章 变分原理及基本BANACH空间
**节 变分原理
一、Banach空间的若干概念
二、非线性映射的微分
三、极值问题
四、山路引理
第二节 HOLDER空间与Lp空间
一、Holder连续函数空间
二、Lp空间
三、Brezis－Lieb引理
第三节 SoBOLEV空间
一、整数阶Sobolev空间
二、Sobolev嵌入定理
三、齐次Sobolev空间Dm,p
四、分数阶Sobolev空间
五、有界变差函数
第四节 对称重排LORENTZ空间
一、函数的对称重排
二、Lorentz空间
第五节 BMO空间与HARDY空间
一、BMO与VMO空间
二、Hardy空间H1
II 有界区域上的非线性椭圆方程
第二章 BREZIS－NIRENBERG模型
**节 BR：EZIS－NIRENBERG模型
一、几何背景
二、紧性的丧失Pohozaev障碍
三、变分方法
第二节 试验函数及其估计
一、情形n≥4
二、情形n=3
第三节 若干相关问题
一、带余项的*佳Sobolev不等式
二、对称函数的Sobolev嵌入
三、区域拓扑的影响
第三章 一般临界非线性椭圆方程
**节 变分方法
一、存在性的Brezis－Nirenberg判据
二、基本估计
第二节 各种存在性结论
一、情形n≥5
二、情形n=4
三、情形n=3
第三节 多解性结论
一、极小解及其性质
二、非线性特征值问题
三、Ambrosetti－Prodi问题
III 平均曲率型问题
第四章 古典PLATEAU问题
**节 平均曲率及相关问题
一、平均曲率
二、共形参数表示及H－系统
第二节 古典PLATEAU问题
一、解析表达
二、Douglas－Rad6方法
第五章 H－方程及PLATEAU问题
**节 概述
一、背景
二、解决途径概述
第二节 劣解的存在性
一、Dirichlet问题的劣解
二、Plateau问题的劣解
第三节 DIRICHLET问题的优解
一、变分结构
二、试验函数及其估计
第四节 PLATEAU问题的优解
一、极小化能量
二、变分区域
第五节 正则化及其它技术支持
一、正则化
二、恒等式与不等式
三、各种收敛性
IV 数量曲率型问题
附录A 线性二阶椭圆方程
附录B RADON测度
附录C 算子插值及其他