《数学家的眼光(典藏版院士数学讲座专辑)》是“中国科普名家名作”
系列之一。
《数学家的眼光(典藏版院士数学讲座专辑)》是我国**数学家、计算
机专家张景中院士创作的科普读物,包括《椭圆上的蝴蝶》、《三角形里一
个点》、《假如地球是空壳》、《无穷小是量的鬼魂?》、《微积分基本定
理的天然证明》等内容。
温故知新
三角形的内角和
了不起的密率
会说话的图形
从鸡兔同笼谈起
定位的奥妙
正反辉映
相同与不同
归纳与演绎
**与误差
变化与不变
巧思妙解
椭圆上的蝴蝶
无穷远点在哪里
用圆规画线段
佩多的生锈圆规
自学青年的贡献
青出于蓝
圈子里的蚂蚁
三角形里一个点
大与奇
不动点
偏题正做
洗衣服的数学
叠砖问题
假如地球是空壳
地下高速列车
见微知著
珍珠与种子
抛物线的切线
无穷小是量的鬼魂?
极限概念:严谨但是难懂
不用极限概念能定义导数吗?
导数新定义初试锋芒
轻松获取泰劳公式
成功后的反思
抛物线弓形的面积
微积分基本定理
不用极限定义定积分
微积分基本定理的天然证明
好多年以前,我像你们这样大的时候,曾经和小蚂蚁开过这样的玩笑: 用樟脑球在地上画个圈,圈住一只蚂蚁。可怜的小蚂蚁,爬来爬去,再 也不敢爬出这个圈子了。 这个圈,是三角形的也好,正方形的也好,不规则的鸭蛋形也好,对小 蚂蚁来说都是一样的――反正爬不出去。 在我们看来很不相同的三角形与圆,此时此刻,对于蚂蚁却没有什么区 别了。蚂蚁感兴趣的是:这个圈有没有一个缺口? 有一门数学,叫拓扑学。数学家在研究拓扑学的问题的时候,倒和小蚂 蚁有点同感。这时,他们也觉得,三角形的圈、圆形的圈、矩形的圈,没有 什么分别,反正是个圈。 是不是拓扑学家的眼光就和蚂蚁的眼光完全一样呢?也不尽然。如果圈 子很大,能圈进半个地球,或圈子极小,小得放不进一粒细沙,蚂蚁就无所 畏惧了。这就是说,圈子的大小,在蚂蚁看来是不同的;.但对于拓扑学家 ,圈子的大小是真正无所谓的,小得像原子,大得像太阳系,都一样,反正 是个圈子。 在弹性很好的橡胶膜上画个图形,你把橡胶膜压缩、扯大或揉成一团的 时候,图形会变得稀奇古怪。三角形也许会变成六边形,圆圈也许会变成一 只小鸭。但只要不把橡胶膜扯破,不把某两部分粘合在一起,在拓扑学家看 来,这个图形就等于没有变。 从拓扑学的观点来看,皮球和橡胶做的空心洋娃娃没有什么分别,但皮 球和汽车轮胎却完全不同。的确,蚂蚁放在皮球里爬不出来,放在轮胎里也 爬不出来,但拓扑学家却有更巧妙的手段来查清皮球与汽车轮胎之间的不同 。如果轮胎里有两只蚂蚁,可以用一块圆环形隔板把它们隔开,在皮球里, 圆环形的隔板是不可能把两只蚂蚁隔开的! 拓扑学家把我们眼里很多不同的图形看成是相同的,然后把他们眼里相 同的图形归为一类。分类的结果,平面上的封闭曲线,如果不带端点,不带 分岔点,就只有一种:圈。 空间的封闭曲面,如果不带边缘(圆筒、碗都有边缘,球、轮胎都没有 边缘),不带分岔点,*简单的是球面。 球面上挖两个洞,镶嵌上一截管子(叫环柄),在拓扑学家眼里,便和轮 胎没有分别了。再挖两个洞,又可以加一个环柄。一个球上可以镶上任意多 个环柄。这样,现实空间里所有不带边的面、不带分岔点的曲面,便都在其 中了。 似乎在拓扑学家眼里,世界要简单一些。但拓扑学的问题却并不简单, 有不少难题尚待解决。现代数学的许多分支,都要用到拓扑学的基本概念与 成果。 *后,再回到蚂蚁爬不出的圈子里来。这样的一个圈,是一条连续的、 封闭的、自己和自己不相交的曲线,叫做简单闭曲线,也叫“若当闭曲线” 。若当,是19世纪法国数学家的名字。 一个这样的圈子把平面分成两部分――有限的内部和无限的外部。蚂蚁 在内部可以从一点爬到另外任一点而不碰到圈子,在外部也可以。但要从外 部到内部,或从内部到外部,就一定得经过圈子。这个事实,叫“若当定理 ”。 这么简单的事谁不知道,还配称为定理吗?我们这么想,若当以前的数 学家也这么想。若当却不这么想。他敏锐地看出,这个问题可并不简单。因 为,什么叫连续,什么叫封闭,什么叫内,什么叫外,都应当用数学语言精 确地加以定义,再根据定义来证明:蚂蚁要爬出去必须经过圈子。这可就难 了。 若当这么一指出,别的数学家也恍然大悟。若当严格地定义了这些概念 ,写了很长的一篇文章,证明了这条定理。 你看,我们眼里千变万化的图形,数学家可以认为是同样的圈――在数 学家眼里,复杂的东西变得简单了。 反过来,数学家若当又从简简单单的一个圈里提出了难题。从简单的现 象背后,揭示出深刻的道理。P110-114