考点四 *大公约数与*小公倍数
1.定义
*大公约数:如果c是a的约数,c也是b的约数,那么我们称c是a和b的公约数。一般来说,两个数的公约数不止一个,我们把其中*大的一个公约数,称为这两个数的*大公约数。多个数之间的公约数和*大公约数也可以用类似方法定义。
【示例】48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48;64的约数有1、2、4、8、16、32、64。
1、2、4、8、16是48和64的公约数,其中16*大,所以它们的*大公约数是16。
结合上面的例子不难看出:
一个正整数的约数通常是成对出现的,即当一个正整数不是完全平方数时,它有偶数个不同的约数;当一个正整数是完全平方数时,它有奇数个不同的约数。
*小公倍数:如果c是a的倍数,c也是b的倍数,那么我们称c是a和b的公倍数。与公约数类似,两个数的公倍数也不止一个,我们把其中*小的一个公倍数,称为这两个数的*小公倍数。多个数之间的公倍数和*小公倍数也可以用类似的方法定义。
【示例】15的倍数有15、30、45、60、75、90、105、120、135、150……
25的倍数有25、50、75、100、125、150、175、200、225……
75、150、……是15和25的公倍数,75*小,所以它们的*小公倍数是75。
结合上面的例子不难看出:
两个数的公倍数有无限多,且所有公倍数都是*小公倍数的倍数。
2.性质
性质1:如果a、b互质,则a和b的*大公约数是1,*小公倍数是a?b。
【示例一】4和5互质
4的约数有1、2、4;倍数有4、8、12、16、20、24、28、32、36、40……
5的约数有1、5;倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50……
1是4和5的**的约数,即为*大公约数;
20、40、……是4和5的公倍数,它们的*小公倍数是20=4×5。
请注意:如果有3个数或以上,只有当两两互质时,*小公倍数才是它们的乘积。
【示例二】2、5和7两两互质
2和5的*小公倍数是2×5=10;10与7互质,所以2、5、7的*小公倍数是10×7=70,等于三个数的乘积;
2、4和5并非两两互质
2和4的*小公倍数是4,4与5互质,所以2、4、5的*小公倍数是4×5=20,不等于三个数的乘积。
性质2:如果a是b的倍数,则a和b的*大公约数是b,*小公倍数是a。
【示例】10是5的倍数
10的约数有1、2、5、10;倍数有10、20、30……
5的约数有1、5;倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50……
5是10和5的*大公约数;
10、20、30……是10和5的公倍数,10*小,所以它们的*小公倍数是10。
性质3:a、b是任意的两个正整数,则a和b的*大公约数与*小公倍数的乘积等于a?b。
【示例】4和6的*大公约数是2,*小公倍数是12,2×12=24=4×6。
3.*大公约数与*小公倍数的求法
求*大公约数与*小公倍数主要方法有分解质因数法、短除法和辗转相除法。
(1)分解质因数法
将每个合数都写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数。
【示例】求24和60的*大公约数与*小公倍数?
24=2×2×2×3
60=2×2×3×5
*大公约数是两个数所有公有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3,所以24和60的*大公约数是2×2×3=12;
*小公倍数是两个数所有公有质因数和其各自独有质因数的乘积。24、60的公有质因数是2、2、3,24的独有质因数是2,60的独有质因数是5,所以24、60的*小公倍数是2×2×3×2×5=120。
(2)短除法
短除符号就是除号倒过来,在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后写下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,一直除到所得的商互质为止。短除法实质上是分解质因数法的一种简便形式。
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