目录<p>目录</p> <p>第1章求解方法概述1.1梁弯曲挠度计算讨论1.1.1弯曲问题分类理念1.1.2梁内荷载级数特解1.1.3梁端外界作用特解1.2梁弯曲挠度计算的启示1.2.1广义静定和广义超静定问题分类1.2.2外界作用格式化1.2.3微分方程解1.3级数正交性及函数的级数展开1.4结语第2章弹性薄板弯曲2.1弹性力学的基本方程2.1.1平衡微分方程2.1.2几何方程2.1.3物理方程2.1.4弹性力学问题解2.2薄板小挠度弯曲平衡微分方程2.2.1薄板弯曲计算假定2.2.2板弯曲平衡微分方程2.3薄板横截面内力和边界条件2.3.1横截面内力与挠度w相关式2.3.2扭矩的等效剪力2.3.3边界条件2.4矩形边界薄板弯曲经典解法2.4.1四边简支板纳维叶解2.4.2莱维解法2.4.3经典叠加法2.5矩形边界薄板弯曲统一解法基本思路2.5.1广义静定弯曲与广义超静定弯曲分类2.5.2外界作用连续化、格式化2.5.3广义静定弯曲求解方法2.5.4广义超静定弯曲求解方法2.6四边支承矩形板2.6.1通解和级数特解2.6.2边界条件对应的线性方程组2.6.3线性方程组系数行列式2.6.4多项式特解2.6.5通用规则2.7三边支承、一边非支承矩形板2.7.1通解和级数特解2.7.2边界条件对应的线性方程组2.7.3多项式特解2.8一对边支承、一对边非支承矩形板2.8.1通解和级数特解2.8.2边界条件对应的线性方程组2.8.3多项式特解2.9二邻边支承、二邻边非支承矩形板2.9.1通解和级数特解2.9.2边界条件对应的线性方程组2.9.3多项式特解2.10一边支承、三边非支承矩形板2.10.1通解和级数特解2.10.2边界条件对应的线性方程组2.10.3求解待定系数2.10.4多项式特解2.11四边非支承矩形板2.11.1通解和级数特解2.11.2边界条件对应的线性方程组2.11.3求解待定系数2.12逆向命题验算2.13结语第3章平面问题3.1平面问题基本方程和边界条件3.1.1两种平面问题3.1.2平面问题平衡方程几何方程物理方程3.1.3变形协调方程3.1.4边界条件3.2平面问题求解理念和方法3.2.1广义静定��题与广义超静定问题分类3.2.2外界作用连续化格式化3.2.3平面问题解的构成及求解特点3.2.4广义静定问题求解方法3.2.5广义超静定问题求解方法3.3角点力作用应力解3.3.1角点力作用下角部微元受力特征3.3.2隔离体平衡法3.3.3FOy作用应力解3.3.4FBy作用应力解3.3.5FAy作用应力解3.3.6FCy作用应力解3.4体力作用应力解3.4.1体力作用格式化3.4.2求解体力作用应力解3.5计算边值条件解3.5.1应力函数解的组成3.5.2应力函数通解3.5.3应力函数特解3.5.4计算边值条件对应的线性方程3.6四边法向自由平面问题3.6.1应力函数3.6.2计算边值条件对应的方程3.6.3通用规则3.7一边法向支承平面问题3.7.1Nx1Ny2类平面问题应力函数3.7.2Nx1Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.7.3通用规则3.8一对边法向支承平面问题3.8.1Nx4Ny1类平面问题应力函数3.8.2Nx4Ny1类平面问题计算边值条件对应的方程3.9二邻边法向支承平面问题3.9.1Nx2Ny2类平面问题应力函数3.9.2Nx2Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.10三边法向支承平面问题3.10.1Nx4Ny2类平面问题应力函数3.10.2Nx4Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.11四边法向支承平面问题3.11.1应力函数3.11.2计算边值条件对应的方程3.12结语第4章弹性薄板自由振动4.1板自由振动微分方程4.2无点支承的矩形板4.2.1基本思路4.2.2振形曲面4.2.3振形曲面的正交性4.2.4降低频率方程行列式阶数4.3非角点支承的矩形板4.3.1边界内设有点支座4.3.2边界上设有点支座4.4角点支承的矩形板4.4.1基本思路4.4.2一边和一角点支承的矩形板4.4.3利用对称性分析一边和二角点支承的矩形板4.4.4二邻边和一角点支承的矩形板4.4.5单角点、多角点支承的四边非支承矩形板4.4.6四角点支承对称分布的四边非支承矩形板4.5结语附录A常见函数的三角级数展开系数A.1函数在0,a区间展开为级数∑m=1,2,…sinαmx、αm=mπ〖〗aA.2函数在0,a区间展开为级数∑m=0,1,…cosαmx、αm=mπ〖〗aA.3函数在［0,a］区间展开为级数∑m=1,3,…sinλmx、λm=mπ〖〗2aA.4函数在［0,a］区间展开为级数∑m=1,3,…cosλmx、λm=mπ〖〗2aA.5函数在［0,b］区间展开为级数∑n=1,2,…sinβny、βn=nπ〖〗bA.6函数在［0,b］区间展开为级数∑n=0,1,…cosβny、βn=nπ〖〗bA.7函数在［0,b］区间展开为级数∑n=1,3,…sinγny、γn=nπ〖〗2bA.8函数在［0,b］区间展开为级数∑n=1,3,…cosγny、γn=nπ〖〗2b附录Bx轴向角点力作用应力解B.1FOx作用B.2FBx作用B.3FAx作用B.4FCx作用附录C体力Fy作用应力解C.1图C.1(a)所示Ny1Px1类平面问题C.2图C.1(b)所示Ny1Px2类平面问题C.3图C.1(c)所示Ny1Px3类平面问题C.4图C.1(d)所示Ny1Px4类平面问题C.5图C.1(e)所示Ny2Px1类平面问题C.6图C.1(f)所示Ny2Px2类平面问题C.7图C.1(g)所示Ny2Px3类平面问题C.8图C.1(h)所示Ny2Px4类平面问题C.9图C.1(i)所示Ny3Px1类平面问题C.10图C.1(j)所示Ny3Px2类平面问题C.11图C.1(k)所示Ny3Px3类平面问题C.12图C.1(l)所示Ny3Px4类平面问题C.13图C.1(m)所示Ny4Px1类平面问题C.14图C.1(n)所示Ny4Px2类平面问题C.15图C.1(o)所示Ny4Px3类平面问题C.16图C.1(p)所示Ny4Px4类平面问题附录D试算法确定平面问题特解φ21、φ22D.1构造规则D.2构造方法D.3构造特解φ21x、φ22xD.4构造特解φ21y、φ22y附录E振形曲面正交性推导示例E.1基本方法E.2由三角函数特性和边界挠度剪力条件计算R1E.3由边界弯矩转角条件计算R1E.4由三角函数特性和边界挠度剪力条件计算R2、R3E.5由边界弯矩转角条件计算R2、R3附录F矩形板附加振形推导示例参考文献</p>显示全部信息前 言序言 本书论述工程中常见的三类弹性力学问题的求解方法，分别为平面应力或应变、薄板弹性弯曲和弹性薄板自由振动。问题的边界为矩形，有四条直线边界和四个角点，相邻边界相互正交，可采用直角坐标系。每一条边界的支承条件有四种选择。平面问题边界类型有：法向和切向支承边，法向和切向自由边，法向支承、切向自由边，法向自由、切向支承边。薄板边界类型有：固定边、简支边、自由边、滑移边。此外，还可以设有点支座(链杆支座)，点支座可以设在边界内、边界上或矩形边界的角点处。这三类弹性力学问题的解答*终都归结于寻求一个满足确定边值条件的偏微分方程解。所涉及的方程是某一力学物理量对直角坐标变量x、y的四阶偏微分方程，具有相近性；因而求解方法在思路上也呈现一定的通用性。求解理念即为解决这三类弹性力学问题时所采取的某些共同的、具有理性特征的研究思路。它们是：（一） 广义静定问题和广义超静定问题的分类这三类弹性力学问题所求解的偏微分方程都综合了力的平衡条件、几何方程和物理方程；涉及的物理量和综合的方程在数量上是相等的。从数学上讲，如果外界作用是明确的，微分方程一定有解。外界作用有四种途径(或形式)：①边界内的荷载作用，如平面问题中的体力、薄板弯曲中垂直中面的板面荷载；②边界外界作用，包括作用在边界线上的外部荷载和边界产生的位移；③角点力作用，指作用在边界角点上的集中力；④局部约束作用，指点支座限制的点位移和作用的支反力。前三种外界作用和点支座限定的位移是明确的，但点支座支反力有两种可能性。如果支反力可由静力平衡条件确定，外界作用都是明确的；直接利用求解条件便能得到与待定未知量数量相等、相互独立的方程；求解条件是完备的。否则，是不完备的。借用结构力学中构件计算时的分类方法，弹性力学平面问题和薄板弯曲问题可采用以下分类方法。无点支座、或有点支座但其支反力可以由静力平衡条件确定的为广义静定问题，否则为广义超静定问题。前者可以由求解条件直接求解，后者要用叠加法求解。薄板自由振动问题不涉及外界作用，不必分类。（二） 外界作用连续化、格式化弹性力学作为连续介质力学的一部分，认为物体内应力、应变、位移都是连续的；可以表示成坐标的连续函数，以便用数学方法进行分析研究。作为力学，它又是研究外界作用与物体抗力间的平衡关系。在很多情况下，外界作用不具有连续化的性质，即使是连续分布，也不一定易于数学处理，这就会给研究工作造成困难。将某些外界作用(指边界内的荷载作用和边界上的外界作用)连续化、格式化是首要的和必要的步骤。方法是将这些形式各异的作用在其作用区间内展开成三角级数或双重三角级数。三角级数是连续、可导函数，易于数学处理。级数展开时要遵循以下三原则：（1） 在作用区间级数是一个完整的正交三角函数族。（2） 级数展开式必须完整地包含原函数的全部内容或全部作用效应。（3） 级数中三角函数类型具有**性，要合理选用。（三） 偏微分方程解的构成方法这三类弹性力学问题所求解的偏微分方程都是由边界内任一微元体的受力分析综合而成。其中，平面问题和薄板弯曲问题的微分方程涉及的外界作用只有边界内的荷载，与边界上的荷载和位移、角点集中力无直接关系。但方程解除满足微分方程外，还必须满足这些形式上没有直接涉及的外界作用条件。为此，求解时要综合考虑以下要素：(1) 弹性力学问题的建模理论与求解方法要统一。例如，薄板弯曲微分方程的实质是以挠度为参数表示的板中面法线方向力的平衡，竖向力和挠度是与微分方程直接关联的物理量，求解时要给予特别关注。(2) 偏微分方程的解由通解和特解组成。特解是表示特定荷载或作用激发的特有的受力和变形。面对多种外界作用，微分方程直接涉及的边界内的荷载要有相应特解；同时，与特别关注的物理量直接关联的、边界上和角点上作用的外界作用也要有相应特解。例如在薄板弯曲中，外界作用涉及的所有竖向力和挠度(板面荷载、角点力、支承边挠度和非支承边竖向力)都有相应的特解。(3) 通解和特解、特解与特解之间要相互协同、互为补充，不要相互干扰和掣肘。例如在薄板弯曲中，角点力特解已满足角点力条件，其通解和其他特解在相应角点处的角点力应为零值。(4) 荷载、通解、特解中采用的三角级数类型要相互协调，待定系数数量与求解条件数量相等。为提高数值计算精度，必须有足够的方程能**表示待定系数间的相关性。笔者为结构专业人员，1993年因工作因素涉足弹性薄板弯曲，随之产生编写本书的冲动。经过20多年的学习、研究才完成夙愿。本书总结了多年的学习心得、研究感悟，望有关专家和读者给予指正。姬同庚、梁远森、姜锐、唐国明、杨卫忠、姬鸿恩、郭杰、白杨曾参与部分课题的研究，感谢他(她)们的合作和付出。长女许蕾绘制书中全部插图。浙江大学龚晓南院士和东南大学单建教授对书稿进行了仔细审阅并提出很多宝贵意见。对此，表示衷心感谢。
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本书论述工程中常见的三类弹性力学问题的求解方法，分别为平面应力或应变、薄板弹性弯曲和弹性薄板自由振动。