第1章 电子的磁学性质
1.1 引言
本章对电子的磁学性质特别是自旋属性进行简要介绍。电子的自旋属性决定了固体材料的磁矩,宏观磁学基于量子力学中电子的角动量,该角动量包含其轨道角动量和自旋角动量,二者之间能够产生自旋 -轨道耦合作用。在磁场力的作用下,自由电子可发生回旋加速运动,而被原子核所束缚的电子可产生拉莫尔进动。固体材料的磁学性质主要取决于原子中的定域电子以及能带中的离域电子。
1.2 电子简介 [1]
电子具有电荷和自旋两大物理属性。我们通常谈论和接触的与电子相关的材料(如金属、半导体)以及各类电子元件和设备,大多与电子的电荷属性相关,而自旋作为电子的另一大属性却常常被忽视,究竟自旋在材料中是如何被体现出来的呢?电子的自旋是否能被当作信息载体呢?本章将介绍自旋的基本性质,从物理学上来讲,也可称之为电子的磁学性质。事实上,磁矩与自旋角动量紧密相连,微观的磁学理论也基于电子的角动量,该角动量包含轨道角动量(通常用 l表示)和自旋角动量(通常用 s表示),二者既可以并存,也可以通过所谓的自旋-轨道耦合进行相互作用。此外,外加磁场可以对自旋以及自旋所处的能级产生干扰,例如,自由电子在外加恒定磁场作用下可以产生回旋轨道运动,而被原子核紧紧束缚的电子在该磁场作用下能够产生拉莫尔进动。历史上人类对电子的电荷属性的认识始于二十世纪初,随着科学的发展,法国**理论物理学家路易斯 维克多 德布罗意在 1924年 11月提出了物质波理论。该理论明确了电子的波动性,并推动了波粒二相性理论的提出和发展。此外,光子也被普遍认为具有该二相性。对于一个电子而言,其波长( λe)和动量( p)满足以下关系:
(1-1)
式中,h为普朗克常量。该理论可进一步与尼尔斯 玻尔提出的原子模型相结合。该模型指出,原子体系中电子绕原子核转动的轨道角动量是约化普朗克常量的整数倍,这里的约化普朗克常量。该模型假定电子能够占据的整个运动轨道长度是德布罗意波长的整数倍。该理论以及相关模型的提出标志着量子物理学的大门被正式打开。
人类对电子的磁学性质的认知大部分源于量子力学,其中*重要的两个基本理论是薛定谔波动方程和海森伯矩阵力学。在波动方程中,人们通常使用波函数来描述微观粒子的状态,其物理含义可以表述为:在以 r为半径的三维球体空间内,一个带电粒子能够被探测到的概率为,其中为的共轭波函数。此外,还可以使用薛定谔方程来进一步描述电子的能量状态。该方程是一个将物质波和波方程相结合的二阶偏微分数学方程,其简写形式为
(1-2)
该公式中的可观测量 H代表哈密顿算符,方程解为一系列不连续且分离化的能量 εi(i=1,2,3, ) ,方程中的每个特征向量可以表示成 Ψi,向量之间具有正交性。量子力学中的海森伯公式在解决磁学问题时非常适用。在包含少数本征态的体系中,可以通过 nn的矩阵表示哈密顿算符,所有的物理观测量均可通过矩阵运算符找出。对于一个本征态是 n×1的列向量,其特征值是个实数。通过式(1-2)还可以找出电子的能量本征态,也就是薛定谔方程中的定态。如果考虑具有时间依赖性的波函数,如 Ψ =Ψ(r,t),则必须使用具有时间依赖关系的薛定谔方程,该方程可表示为
(1-3)
其能量本征态将转变为。
1.3 轨道角动量和自旋角动量
材料的磁学性质和材料中粒子的旋转角动量紧密相关,如果从量子理论的角
度来思考,材料的磁学性质与粒子的量子化角动量密切相关。对于某一种粒子,如质子、中子、电子,它们都具有本征角动量并且可以用 1 =表示,该角动量被统一称为自旋。在原子体系中,原子核中的质子的质量 (m≈1.67 ×10 .27 kg) 要远远大于电子的质量( me ≈ 9.109 ×10.31kg ,见表 1-1),因此固体材料的磁矩主要依赖于电子自旋。如果仅考虑某一材料的宏观磁学性质,核磁性通常情况下可被忽略,电子自旋作为主要因素决定了该材料的磁矩和磁化。
表 1-1电子的物理性质
如果考虑玻尔原子模型,电子在库仑力的作用下,其运动轨迹可被认为绕着原子核做圆周运动,如图 1-1所示*。该电子在轨道上的旋动可以被当作一个电流环,由于电子的负电性,电流方向与电子的运动方向相反。假设电子的转动速度为 v,其转动周期可以表示为,由此产生的等效电流,电流可进而产生磁矩,该表达式中 r和 v之间的矢量叉乘图 1-1单个电子的磁矩和轨道角动量说明磁矩 m与这二者之间相互垂直。由于轨道角动量 l的表达式为,磁矩和轨道角动量之间的关系扫描封底二维码可查看本书彩图。
式可表示为
(1-4)
通常使用旋磁比 γ来表示磁矩 m与轨道角动量 l之间的比例关系,如式(1-5)所示,如果仅考虑电子的轨道运行, γ应等于,这里的负号说明磁矩和轨道角动量二者方向相反。
(1-5)
在量子力学中,轨道角动量呈现出量子化状态,其取值为 =的整数倍,如果只考虑某一特定方向上的磁矩,如沿着 z轴方向,其分量 mz可以表示为
(1-6)
式中, ml 为电子轨道的磁量子数,它的取值是一系列整数( 0,±1,±2,±3, )。该表达式中的 e=/2me 包括三个物理常数,被称作玻尔磁子 μB:
(1-7)
1μB ≈9.274 ×10.24 A m2 。从式( 1-6)可以看出,沿 z轴方向的量子化磁矩是玻尔磁子的整数倍。事实上,还可以通过另外一种方式来表示式( 1-5),该方式需要纳入所谓的 g因子。 g因子的大小是由以玻尔磁子为单位的磁矩与以 =为单位的轨道角动量二者之间的比值所决定的,通常可以表示为。如果只考虑电子的轨道运行而不考虑其自旋,g因子约等于 1。此外,如果考虑一个非圆形电子转动轨道,如某一方形轨道,磁矩表达式 mIA中的 A是该方形的面积,电子绕着该轨道运行的角动量 lmr2ω,其中 ω为角速度,由此产生的电流可表示成,式中的一项表示所有轨道数的平均量。玻尔模型是量子力学中用来简要叙述和简单理解原子体系中电子结构的一种方法,当原子序数 Z=1时,可以采用牛顿第二定律计算出电子在圆周运动下的受力以及相关运动情况,如 e2/4πεr2 =mv 2/ r。由于量子化角动量为 ,该表达式中的 r可以表示为 rna,其中 a被称作玻尔半径并且可以表示成
(1-8)
除了轨道角动量,电子还具有本征自旋角动量物性。自旋角动量取值为 s=1 ,与其他任何轨道运动以及轨道角动量无关,如图 1-2(b)所示,自旋取向相对于某一磁场方向而言只能是平行或者反平行。可以近似认为电子是一个真实存在的点粒子,其半径小于 10.20 m,比玻尔半径小很多。事实上,所有的费米子都具有自旋特性,以及与之相关的磁矩,大量结果证明与电子自旋相关的磁矩不是 12,而是约等于一个玻尔磁子,相应的旋磁比 γ可以写成,如果仅仅考虑电子自旋,g因子约等于 2:
(1-9)
由于自旋磁量子数 ms =±12 ,自旋在任意方向的分量应为 ±12 =,如果仅考虑 ms在某一特定方向上的分量,如沿 z轴的分量,该分量 mz可表示为
(1-10)
(1-11)
可以看出,由自旋角动量所产生的磁矩是轨道角动量所产生磁矩的两倍,高阶修正所得出的电子 g因子约等于 2.0023,其自旋磁矩的大小为 1.00116μB ,在一些实际计算过程中可以将小数点之后的部分省略。
图 1-2与电子磁矩相关的轨道角动量(a)和自旋角动量(b)
1.4 自旋-轨道耦合
总体上来讲,电子可以同时表现出自旋角动量和轨道角动量两大物理特性,二者可进一步耦合,进而产生总角动量,通常用 J表示,它与磁矩 m之间的关系可以表示为
(1-12)
单电子体系中与角动量相关的量子数通常用小写字母,来代表,而大写字母 LSJ常使用在多电子体系中,如图 1-3所示。
图 1-3 LS自旋-轨道耦合作用在外加弱磁场(a)和外加强磁场(b)下的表现
假设把电子作为一个参考点,同时设想原子核以速度 v绕着电子旋转,该旋动所产生的电流可以表示成 I=,在电流回路**所产生的磁场为为自由空间磁导率),电子的自旋磁矩 ms与有效磁场 Bso =μ0Zev可产生相互作用,其相互作用所对应的能量可以表示成 εso =-μBBso。如果将玻尔磁子和玻尔半径考虑进来,内核电子和外层电子所对应的 r分别为 ≈0/和 rna0 ,与磁矩相关的轨道角动量和自旋角动量是两个方向相反的矢量,内核电子的相互作用能可以表示为
式中,原子序数 Z的大小决定了自旋-轨道耦合效应的强弱,原子序数相对较大的元素可呈现出明显的自旋-轨道耦合效应,特别是该类元素的内核电子。对于单个电子来讲,自旋-轨道耦合效应的哈密顿方程可以表示为