互易定理是电磁学*重要的理论之一，在通信、天线信号传输、电磁成像等诸多领域有着非常广泛的应用。 《电磁场广义互易定理》系统地梳理了目前已发现的洛伦兹互易方程、Feld-Tai互易方程等“能量型”方程。在此基础上，提出并推导了动量互易方程、互动量方程等“动量型”方程。

第1章 绪论
互易定理是电磁学*重要的理论之一。在经典电磁学理论中，互易定理是指在一定的约束条件下，麦克斯韦方程组中的源与其产生的电磁场在线性时不变介质中相互交换而得到的一系列定理。互易定理将两个独立的电磁场联系起来，描述了**个矢量源对第二个矢量源的场效应和第二个矢量源对**个矢量源的场效应之间的关系。而这种联系之所以存在，是因为两个电磁场都遵循同样的麦克斯韦方程组。互易定理的相关方程在通信和天线信号传输、电磁场成像等诸多领域有着非常广泛的应用。
1.1 引言
闭合曲面上的互易方程是在1896年由洛伦兹(Lorentz，1896)首先提出的。之后，Rayleigh(Rayleigh，1900)和 Carson(Carson，1930)进一步发展了互易定理，将其定义在体积分上。我们把如下方程称为一般形式的洛伦兹互易定理：
(1.1.1)
式中，Ji和Ki分别为电流源和磁流源；Ei和Hi为两种源产生的电场强度和磁场强度。互易方程反映的是电流源与电场的点乘关系，以及磁流源与磁场的点乘关系。为了方便论述，本书**考虑电性源，关于磁性源的互易方程可以通过对偶变换(见本书6.1节)的方法得到。
若不考虑磁性源，则有
(1.1.2)
其中表达式分别为源1对场2的“反应”(也称相互作用)和源2对场1的“反应”，“反应”不具有实际物理意义，但是具有功率密度的量纲。
Rumsey*早提出“反应”这一概念，并将洛伦兹互易定理总结为两个场源之间的“作用与反作用”(Rumsey，1954)。Rumsey后来又将复共轭变换应用于“作用与反作用”理论，并得到了新的互易定理方程(Rumsey，1963)新的互易定理方程具有实际物理意义，可以表示两个场源之间能量的相互作用，表达互复功率的概念。
(1.1.3)
这个新的互易定理方程被后来学者多次重新发现，如赵双任和Petrusenko等分别在论文中称其为互能定理(赵双任，1987)和被遗忘的第二个洛伦兹互易定理(Petrusenko et al.，2009)。本书从该方程的实际物理意义出发，遵循赵双任的命名方式，将这一类型的方程称为“互能方程”。互能方程描述了两个场源的能量相互作用关系，其一般形式如下：
(1.1.4)
频域互易定理和互能定理方程形式简洁，具有较为广泛的应用范围。随着研究的深入，时域互易定理和互能定理方程也逐渐被发现。Welch*早提出时域互易概念(Welch，1960)，De Hoop在其论文中阐述了“时域卷积型互易定理”(reciprocity theorem of the time-convolution type)和“时域互相关的互易定理”(reciprocity theorem of the time-correlation type)(De Hoop，1987)。可以证明时域互相关的互易定理(De Hoop，1987)与频域互能定理(赵双任，1987)可以通过傅里叶变换(见6.4节)进行相互转换，因此可以看成是一个定理。
洛伦兹互易方程与互能方程可以通过电磁场共轭变换(见6.2节和6.3节)进行相互转换。对互能方程的两个电磁场之一，比如对E，H2作共轭变换可以得到洛伦兹互易方程；反之，对洛伦兹互易方程2的两个电磁场之一，比如E2，H2作共轭变换，保持 E1，H1不变，则可以得到互能方程。
然而，互易方程和互能方程描述的是电流源和电场之间的关系，尚未建立电流源和磁场之间的关系。与之相关的新形式互易定理方程是由Feld (Feld，1992)和Tai (Tai，1992)各自独立提出的，因此被称为 Feld-Tai互易定理。Feld-Tai互易方程描述了电流源和磁场的关系，即两个时谐电流源 J1和J2和产生的磁场 B1和B2之间的关系，具有如下一般形式：
(1.1.5)
洛伦兹互易方程与Feld-Tai互易方程可以通过法拉第-安培变换(见6.5节)进行转换，即保持**个场源不变，第二个场源采用法拉第-安培变换，则可实现这两类方程的相互转换。
若两个源均在体积V内，并考虑磁导率均匀介质情况，式(1.1.5)常被简写为
(1.1.6)
可以发现，洛伦兹互易方程表达了两个场源之间的功率反应，互能方程表达的是互复功率，而Feld-Tai互易方程中场源的点积具有电流平方的量纲。由此可以认为，目前的互易定理方程与电磁场能量相关。就此意义而言，它们反映的是两个场源之间的“能量”作用关系。因此本书将其统称为能量型方程，在第3章予以阐述。
洛伦兹互易定理被写在了各种电磁场理论或电动力学的教科书中，已经被熟悉电磁场的读者所习惯。互能定理由于其方程具有实际意义，也得到了一定的应用。而Feld-Tai互易定理虽然提出已有一段时间，但并不常用，以致本书作者在未发现相关文献的情况下，将这个定理重新发现了一回。作者由此意识到，缺乏专门针对互易定理论述的相关书籍，可能会给不同领域的科研工作者带来一定的壁垒。因此，本书的初衷是对目前出现的互易定理方程进行体系化梳理，并从麦克斯韦方程组出发重新进行推导，以帮助读者理解和运用这些方程。
然而在行书过程中，作者发现目前的互易定理方程只是从“能量”一个侧面反映了两个场源之间的相互作用关系，也许这并不全面。事实上，电磁场除了具有能量还具有动量和角动量，因此两个场源的作用关系，除了能量作用关系，还有动量作用关系，需要有反映两种场源之间动量作用关系的定理加以描述。这意味着现有的电磁场互易定理是可以扩展的。本书在第4章提出并推导了动量型互易方程，它反映的是电流源与磁通密度的叉乘关系以及电荷源与电场强度的相乘关系，具有动量密度变化率的量纲。动量型互易方程与能量型互易方程分别从动量和能量两种不同的角度给出了两个电磁系统之间的相互作用关系。
在第5章中，作者对互能方程和互动量方程分别从电磁场坡印亭定理和动量定理出发，给出了另一种推导方式——合成场方法。
2019年11月，作者完成了对互易定理方程家族谱系的推导和梳理工作，于2020年初尝试向 IEEE旗下等电磁相关期刊投稿。在这个过程中有一位审稿人**了Lindell等在2020年**发表的文章(Lindell et al.，2020)，他认为Lindell等的工作与我们的工作结论相近。Lindell等是利用微分几何所表述的电磁场方程对互易定理作了扩展，由于大部分电磁场著作或教科书都以吉布斯矢量方式写就，而微分几何体系的电磁学的研究者较少，本书作者对此亦不熟悉，经过认真研读，认为我们与Lindell等是用不同的体系和方法各自实现了对频域互易定理方程的扩展，这也算是冥冥之中的缘分。本书将这部分内容放在第7章予以介绍。
Lindell等导出的公式正是本书作者导出的频域动量互易方程的特殊形式，除此之外，本书作者还导出了时域动量互易方程、时域角动量互易方程、频域互动量方程(Liu et al.，2020)、频域互角动量方程、时域互动量方程、时域互角动量方程等一系列动量型方程。
第8章以磁声电成像(magneto-acousto-electrical tomography，MAET)为例对本书所述互易方程的具体应用予以阐述。
至此，全书的逻辑脉络已大致成型。
1.2 本书主要内容
“能量型方程”包含两类：一类是表达源与场“能量反应”的方程，即洛伦兹互易方程；另一类是具有能量物理意义的方程，即“互能方程”。
“动量型方程”包括两类：一类是表达源与场“动量反应”的方程，即“动量反应互易方程”，包括动量互易方程、角动量互易方程；另一类是具有动量物理意义的方程，包括互动量方程、互角动量方程等。
在本书中，为便于叙述，从能量型方程和动量型方程中抽出能量反应方程和动量反应方程，命名为“反应型方程”，将互能方程、互动量方程与互角动量方程命名为“能量动量型方程”。
根据逻辑关系，本书共分为四部分，各个章节的内容安排如下：
**部分，即“电磁场方程和定理”，即第2章，介绍了时变电磁场坡印亭定理、时谐电磁场坡印亭定理、时变电磁场动量定理、时谐电磁场动量定理、对偶原理以及时间反转。
第二部分，从麦克斯韦方程组出发，直接导出频域和时域的互易方程，即第3章“能量型方程”和第4章“动量型方程”，包括频域和时域下的互易方程、互能方程、动量互易方程、互动量方程，以及角动量互易方程、互角动量方程。
第三部分，给出了导出互易方程的其他三种方法，即“合成场方法”、“变换方程方法”和“微分几何方法”，即第5章至第7章。
第四部分，对上述电磁互易定理给出具体的应用实例。
需要说明的是，为叙述简洁，本书中均假定介质为线性均匀各向同性无耗介质。
第2章 电磁场方程与定理
关于电磁场的定理很多，由于阐述互易定理的需要，这里仅综述与之相关的电磁场基本方程和定理。
2.1 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的微分形式如下：
法拉第电磁感应定律(2.1.1a)
安培定律(2.1.1b)
高斯磁通定理(2.1.1c)
高斯电通定理(2.1.1d)
介质中的性质方程为
(2.1.1e)
(2.1.1f)
(2.1.1g)
式中H为磁场强度，单位为安培/米(A/m)；E为电场强度，单位为牛顿/库仑(N/C)，或伏特/米(V/m)；D为电位移矢量，或电通密度，单位为库仑/米2(C/ m2)；B为磁感应强度，或磁通密度，单位为特斯拉(T)，或韦伯/米2(Wb/m2)；J为体电流密度，简称电流密度，单位为安培/米2(A/m2)；为体电荷密度，简称电荷密度，单位为库仑/米3(C/m3)；为电导率，单位为西门子/米(S/m)；为介电常数，或介电常量，单位为法/米(F/m)；为磁导率，单位为亨/米(H/m)。时谐电磁场麦克斯韦方程组为

目录 前言 第1章 绪论 1 1.1 引言 1 1.2 本书主要内容 5 第2章 电磁场方程与定理 6 2.1 麦克斯韦方程组 6 2.2 时变电磁场坡印亭定理 7 2.3 时谐电磁场坡印亭定理 8 2.4 时变电磁场动量定理 9 2.5 时谐电磁场动量定理 12 2.6 对偶原理 15 2.7 时间反转 16 第3章 能量型方程 18 3.1 洛伦兹频域互易方程 18 3.2 频域互能方程 19 3.3 时域互易方程 22 3.4 时域互能方程 24 3.5 频域Feld-Tai互易方程 28 3.6 时域Feld-Tai互易方程 30 3.7 能量型互易方程的特殊形式 31 第4章 动量型方程 35 4.1 频域动量互易方程 35 4.2 频域互动量方程 40 4.3 时域动量互易方程 45 4.4 时域互动量方程 48 4.5 另一个频域动量互易方程 51 4.6 另一个时域动量互易方程 53 4.7 动量型互易方程的特殊形式 55 4.8 静态场动量互易方程 60 第5章 合成场方法 64 5.1 频域互能方程 64 5.2 时域互能方程 66 5.3 频域互动量方程 68 5.4 时域互动量方程 70 第6章 变换方程方法 73 6.1 对偶变换 74 6.2 时间反转变换 77 6.3 频域共轭变换 78 6.4 傅里叶变换 82 6.5 法拉第-安培变换 83 第7章 微分几何方法 85 7.1 微分几何简述 85 7.2 Rumsey广义反应 86 第8章 互易方程的应用 91 8.1 时域互易方程的应用 91 8.2 时域Feld-Tai互易方程的应用 93 8.3 准静态电磁场动量互易方程的应用 95 8.4 准静态电磁场角动量互易方程的应用 99 附录A 卷积运算 102 附录B 互相关运算 103 附录C 微分恒等式 104 附录D 合成场运算 106 参考文献 107 结束语 108