《旋转流体理论与数值模拟——热对流、惯性波和进动流》总结了作者在旋转流体动力学基础理论上的**研究成果，针对该领域的三个核心基本问题：旋转驱动的惯性波动模、非匀速旋转（进动或天平动）驱动的对流以及旋转控制下的热对流，**次提出了系统性的、统一的旋转流体理论。在这个理论框架下，针对不同几何形状（环柱、圆柱、球、球壳、椭球等）的旋转流体，详细推导了上述三个基本问题的分析解，并给出大量图表具体显示了这些理论分析结果。此外，《旋转流体理论与数值模拟——热对流、惯性波和进动流》还提供了多种数值模拟方法，它们不仅验证了新理论的正确性，而且对相关研究也可资借鉴。

**部分 旋转流体基础
第1章 旋转流体的基本概念和方程
1.1 引言
受旋转强烈影响的流体运动从根本上区别于非旋转流体，这赋予了旋转流体研究独特的学术魅力。为解释或预测大气、海洋、行星以及天体物理现象，地球物理学、天体物理学和应用数学领域的科学家对旋转流体投入了越来越多的关注。同时，在工程和应用领域，旋转流体问题也是一个基础性问题，研究范围可从离心机的稳定性延伸到旋转航天器(携带液体载荷)的稳定性。在过去几十年中，快速旋转流体的理论、实验、数值和观测研究已获得了蓬勃的发展。
旋转流的特殊性激发了许多富有创意的思想，它们已被成功应用于旋转流体的理论之中。旋转流的特殊性主要表现在三个方面：①旋转对流体运动具有压倒性的控制和约束作用；②仅由旋转驱动的振荡运动、惯性振荡和惯性波的类型是****的；③由���速旋转导致的粘性①边界层与非旋转系统具有显著的差异。
这三个基本特征构成了本书所论述的旋转流体理论基础||惯性波、旋转对流和进动/天平动流。因为对于首阶近似下的无粘性波动，可以相对简单且容易地获得其数学分析解，所以，在此基础上，往往可以非常有效地使用渐近或微扰方法来发展相应的粘性流体理论。
旋转流体研究包含两个重要但在传统上互相独立的分支：惯性波和对流不稳定性。惯性波理论描述了仅由旋转激发的无粘性流体运动，而对流研究关注的是由热浮力驱动的粘性流体运动||它既可以发生在旋转系统中，也可以发生在非旋转系统中。这两个研究分支均已独立获得了广泛的发展。当流体粘性被忽略时，旋转流体的惯性波由庞加莱(Poincare)方程所控制，Greenspan(1968)在其专著中讨论了该问题在多个系统中的解。而热对流问题需要增加一个方程，用以控制驱动对流的浮力。针对不同几何形状的流体，Ch and rasekhar(1961)给出了热对流问题的公式和早期研究结果。本书将尝试在渐近分析的框架内统一惯性波、热对流和进动/天平动流的理论，并且反映旋转流体的三个基本特征。
为清晰阐释旋转流体的基本动力学过程，我们付出了大量心血，对多种几何形状旋转容器中的流体运动进行了研究。容器分三类，分别为环柱(以及窄间隙环柱)、圆柱和球(以及球壳和椭球)。当流体充满容器时，流体不存在自由表面，并且这些旋转容器的形状可以被实验室实验**或近似地实现，参见文献(Malkus，1968;Davies-Jones and Gilman，1971;Benton and Clark，1974;Carrigan and Busse，1983;Zhongetal.，1991;Kobine，1995;Noiretal.，2001;King and Aurnou，2013)。
1.2 旋转流体的运动方程
我们首先简要介绍一下描述旋转流体运动的完整方程组。本书所有讨论都将基于流体连续性假设，即流体运动的尺度远大于流体分子间的距离(Batchelor，1967)。在此假设下，流体的微观分子结构被忽略，在结构上被视为完全连续和均匀的。
在连续性假设下，可以定义一个无穷小的流体微团，设它在t时刻位于的位置。使用流体力学的欧拉方法，令表示t时刻、位置r处的流体微团密度(单位体积内的质量)，则以下标形式表示的质量守恒原理为
(1.1)
其矢量形式为
(1.2)
其中，代表流体微团在r位置和t时刻的速度。全微分D=Dt定义为偏微分方程(1.1)或(1.2)描述了流体在连续性假设下的质量守恒定律，称为连续性方程。
在惯性系中，考虑一个非匀速旋转的容器，其中充满了粘度恒定的牛顿流体。容器的旋转角速度以表示，即它可以随时间而变化。由动量守恒原理可以导出流体微团相对于参考系的运动方程，而对于不同的参考系，其运动方程则具有不同的数学形式。很显然，对于大气动力学之类的许多地球物理问题，采用一个坐标轴固定于地球的参考系在物理上是自然的，在数学上也较为方便，这个参考系通常被称为旋转参考系，或者地幔参考系、随体参考系。在旋转参考系中，流体容器的边界是静止的，流体运动仅需要考虑相对刚体转动的小幅偏离。
设一名观测者位于旋转参考系中，记为他观察到的任意矢量的变化率；同时，假设另一名观测者位于非旋转的惯性参考系中，记他所看到的矢量变化率为。那么这两个变化率之间的关系为
(1.3)
将流体微团的位置矢量r应用于公式(1.3)，则有
其中，表示相对于惯性参考系的速度；而，表示相对于旋转参考系的速度。对位于惯性参考系的观测者来说，旋转带来了一个附加的项。再次应用(1.3)式，则惯性系中的加速度可写为
注意到
则可得
同时我们也应注意到
鉴于本书始终采用旋转参考系，后文将会省略下标rotating(除非特别说明)。在旋转参考系中，纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equation，即动量方程)具有如下形式：
(1.4)
其中1为动力粘度(dynamic viscosity，假设为常量，不随空间和时间而变化)，g为重力加速度，p为压强(流体微团单位面积的受力)，u为相对旋转参考系的速度，f表示外部施加的体力，表示角速度的变化率，后面我们将针对不同的应用问题给出具体的表达式。
方程(1.4)有三项含有角速度参量-，其中**项称为科里奥利力，第二项通常称为庞加莱力，第三项称为离心力，它可以写成梯度的形式，即运动方程(1.4)的物理意义可以表述为：相对于旋转参考系，流体速度的变化由科里奥利力、庞加莱力、离心力、惯性力、压力、体力和粘滞力的联合作用而导致。
1.3 热方程
由连续性方程(1.2)和运动方程(1.4)描述的数学系统是不封闭的，因为系统有五个待求未知量，而标量方程却只有四个，因此需要一个状态方程来确定压强p、密度.与温度T的关系：
(1.5)
但它又引入了一个新的未知量T，于是需要一个能量守恒方程(常称为热方程)来封闭这个数学系统：
(1.6)
其中k是流体的热传导系数。上式应用了傅里叶热传导定律，即
(1.7)
(1.6)式中，1为流体的动力粘度，cp为定压比热，Qh为单位体积的内部产热率。方程中所有正比于p和Dp=Dt的项与其他项比较通常很小，均已被略去。热方程(1.6)可解读为：单位质量流体内能的变化由热传导、内部生热和粘滞耗散所决定。
1.4 Boussinesq方程
为进行数学分析，必须对旋转流体运动的三个方程：连续性方程(1.1)、运动方程(1.4)和热方程(1.6)作简化处理。另外，状态方程(1.5)往往非常复杂，也需

目录 译者序 前言 **部分 旋转流体基础 第1章 旋转流体的基本概念和方程 3 1.1 引言 3 1.2 旋转流体的运动方程 4 1.3 热方程 6 1.4 Boussinesq方程 6 1.5 动能方程 9 1.6 Taylor-Proudman定理和热风方程 10 1.7 统一的理论方法 11 第二部分 匀速旋转系统中的惯性波 第2章 导论 17 2.1 公式 17 2.2 频率界限 19 2.3 特殊情形：δ=0和 20 2.4 正交性 22 2.5 庞加莱方程 23 第3章 旋转窄间隙环柱中的惯性模 25 3.1 公式 25 3.2 轴对称惯性振荡 27 3.3 地转模 29 3.4 非轴对称惯性波 30 第4章 旋转圆柱中的惯性模 32 4.1 公式 32 4.2 轴对称惯性振荡 33 4.3 地转模 37 4.4 非轴对称惯性波 39 第5章 旋转球体中的惯性模 46 5.1 公式 46 5.2 地转模 48 5.3 赤道对称模：m=0 50 5.4 赤道对称模：m>1 55 5.5 赤道反对称模：m=0 65 5.6 赤道反对称模：m>1 69 5.7 旋转球体中一个准确的非线性解 74 第6章 旋转椭球中的惯性模 77 6.1 公式 77 6.2 地转模 84 6.3 赤道对称模：m=0 85 6.4 赤道对称模：m>1 87 6.5 赤道反对称模：m=0 90 6.6 赤道反对称模：m>1 93 6.7 旋转椭球中一个准确的非线性解 95 第7章 旋转管道惯性模完备性的证明 98 7.1 惯性模完备性的重要意义 98 7.2 贝塞尔不等式和帕塞瓦尔等式 99 7.3 完备性关系式的证明 102 第8章 旋转球体惯性模完备性的指征 111 8.1 寻找完备性的标志 111 8.2 耗散型积分等于零的证明 112 第三部分 非匀速旋转系统中的进动流和天平动流 第9章 导论 121 9.1 非匀速旋转：进动和天平动 121 9.2 不同几何体中的进动/天平动流 122 9.3 关键参数与参考系 125 9.4 不使用pEk的渐近展开 126 第10章 进动窄间隙环柱中的流体运动 128 10.1 公式 128 10.2 共振条件 130 10.3 Γ=3的共振渐近解 131 10.4 Γ=13的共振渐近解 140 10.5 线性数值分析 144 10.6 非线性直接数值模拟 145 10.7 分析解与数值解的比较 146 10.8 副产品：粘性衰减因子 147 第11章 进动圆柱中的流体运动 151 11.1 公式 151 11.2 共振条件 153 11.3 无粘性进动解的发散性 154 11.4 0＜Ek≦1条件下的渐近通解 158 11.5 主共振渐近解 166 11.6 基于谱方法的线性数值分析 172 11.7 弱进动流的非线性特性 174 11.8 有限元数值模拟 177 11.9 主共振的非线性进动流 178 11.9.1 非线性流的分解 178 11.9.2 非线性进动流的结构 183 11.9.3 搜寻三模共振 188 11.10 副产品：粘性衰减因子 191 第12章 进动球体中的流体运动 194 12.1 公式 194 12.2 渐近展开与共振 196 12.3 渐近解 198 12.4 非线性直接数值模拟 204 12.5 分析解与数值解的对比 205 12.6 非线性效应：方位平均流 207 12.7 副产品：粘性衰减因子 208 第13章 经向天平动球体中的流体运动 210 13.1 公式 210 13.2 渐近解 211 13.2.1 为什么不能发生共振 211 13.2.2 渐近分析 212 13.2.3 被激发的三个基本模 217 13.3 线性数值解 221 13.4 非线性直接数值模拟 224 第14章 进动椭球中的流体运动 226 14.1 公式 226 14.2 无粘性解 228 14.3 非线性准确解 233 14.4 粘性解 235 14.5 非线性进动流的特性 241 14.6 副产品：粘性衰减因子 246 第15章 纬向天平动椭球中的流体运动 248 15.1 公式 248 15.2 分析解：非共振天平动流 250 15.3 分析解：共振天平动流 255 15.4 非线性直接数值模拟 263 15.5 分析解与数值解的对比 263 第四部分 匀速旋转系统中的对流 第16章 导论 269 16.1 旋转对流与进动、天平动 269 16.2 旋转对流的关键参数 270 16.3 旋转对对流的约束 271 16.4 旋转对流的类型 272 16.4.1 粘性对流模式 272 16.4.2 惯性对流模式 274 16.4.3 过渡对流模式 275 16.5 不同旋转几何体中的对流 275 16.5.1 旋转环柱管道 276 16.5.2 旋转圆柱 277 16.5.3 旋转球体或球壳 278 第17章 旋转窄间隙环柱中的对流 280 17.1 公式 280 17.2 非线性对流的有限差分法 283 17.3 稳态粘性对流 284 17.3.1 控制方程 284 17.3.2 Γ=Ta1/6≦O(1)时的渐近解 286 17.3.3 Γ=Ta1/6≦O(1)时的渐近解 290 17.3.4 Galerkin-tau方法的数值解 292 17.3.5 分析解与数值结果的比较 293 17.3.6 稳态对流的非线性特性 294 17.4 振荡粘性对流 296 17.4.1 控制方程 296 17.4.2 两个不同振荡解的对称性 298 17.4.3 满足边界条件的渐近解 299 17.4.4 分析解与数值解的比较 306 17.4.5 与无界旋转层流的比较 310 17.4.6 Γ=O(Ta-1/6)时的非线性特性 313 17.4.7 Γ≥O(Ta-1/6)时的非线性特性 315 17.5 曲率影响下的粘性对流 318 17.5.1 粘性对流的开端 318 17.5.2 粘性对流的非线性特性 320 17.6 惯性对流：非轴对称解 325 17.6.1 渐近展开 325 17.6.2 无耗散的热惯性波 327 17.6.3 应力自由条件的渐近解 328 17.6.4 无滑移条件的渐近解 332 17.6.5 伽辽金谱方法的数值解 341 17.6.6 分析解与数值解的对比 343 17.6.7 惯性对流的非线性特性 343 17.7 惯性对流：轴对称扭转振荡 349 第18章 旋转圆柱中的对流 352 18.1 公式 352 18.2 应力自由条件的对流 354 18.2.1 惯性对流的渐近解 354 18.2.2 粘性对流的渐近解 361 18.2.3 Chebyshev-tau方法的数值解 363 18.2.4 分析解与数值解的比较 365 18.3 无滑移条件的对流 366 18.3.1 惯性对流的渐近解 366 18.3.2 粘性对流的渐近解 372 18.3.3 使用伽辽金型方法的数值解 373 18.3.4 分析解与数值解的比较 374 18.3.5 热边界条件的影响 376 18.3.6 轴对称惯性对流 378 18.4 向弱湍流的过渡 382 18.4.1 非线性对流的有限元方法 382 18.4.2 惯性对流：从单一惯性模到弱湍流 383 18.4.3 粘性对流：从壁面局部化模到弱湍流 386 第19章 旋转球体或球壳中的对流 389 19.1 公式 389 19.2 使用环型/极型分解的数值解 392 19.2.1 环型/极型分解下的控制方程 392 19.2.2 应力自由或无滑移条件的数值分析 393 19.2.3 0＜Ek≦1条件下的几个数值解 396 19.2.4 非线性效应：较差旋转 403 19.3 局部渐近解：窄间隙环柱模型 407 19.3.1 局部和准地转近似 407 19.3.2 0＜Ek≦1条件下的渐近关系 409 19.3.3 渐近解和数值解的比较 411 19.4 应力自由条件的全局渐近解 411 19.4.1 渐近分析假设 411 19.4.2 惯性对流的渐近分析 412 19.4.3 惯性对流的几个分析解 417 19.4.4 惯性对流不能维持较差旋转 421 19.4.5 粘性对流的渐近分析 422 19.4.6 粘性对流的典型渐近解 425 19.4.7 非线性效应：粘性对流中的较差旋转 427 19.5 无滑移条件的全局渐近解 429 19.5.1 渐近分析假设 429 19.5.2 惯性对流的渐近分析 430 19.5.3 惯性对流的几个分析解 434 19.5.4 粘性对流的渐近分析 437 19.5.5 粘性对流的典型渐近解 440 19.5.6 非线性效应：粘性对流中的较差旋转 442 19.6 向弱湍流的过渡 446 19.6.1 旋转球体的有限元方法 446 19.6.2 向弱湍流的过渡 447 19.6.3 旋转球壳的有限差分方法 451 19.6.4 慢速旋转薄球壳中稳定的多重非线性平衡 452 附录一 矢量算式和定理 455 附录二 矢量定义 456 参考文献 457 索引 467