第1讲 n维欧氏空间Rn与凸分析简介
本讲是全书的数学预备知识之一,主要内容是n维欧氏空间与凸分析初步,本讲将对这部分内容作简明扼要的介绍,主要参考了文献[10].[13].
1.1 n维欧氏空间Rn
关于n维欧氏空间Rn,相信读者是熟悉的.
对任意Rn中的两点x=(x1, ,xn)和y=(y1, ,yn),定义x与y之间的距离
显然有
(1)d(x,y)>0,d(x,y)=0当且仅当x=y,
(2)d(x,y)=d(y,x),
(3)对任意Rn中的一点.
设是Rn中的一个序列,如果,则称,显然x是**确定的,即如果,则x=y.
又d(x,y)是(x,y)的连续函数,即如果,则.
对任意和实数r>0,记,它是以x0为球心,r为半径的开球.
设G是Rn中的非空子集,如果存在r>0,使,则称x0是G的内点.G中全体内点的集合称为G的内部,记为.如果G中每一点都是G的内点,即G=intG,则称G是Rn中的开集.
显然有
(1)空集和Rn都是开集,
(2)任意个开集的并集是开集,
(3)有限个开集的交集是开集.
设F是Rn中的非空子集,如果对F中的任一序列,则必有,就称F是Rn中的闭集.
易知闭集的余集是开集,开集的余集是闭集,且有
(1)空集和Rn都是闭集,
(2)任意个闭集的交集是闭集,
(3)有限个闭集的并集是闭集.
设A是Rn中的非空子��,所有包含A的闭集的交集,也就是包含A的*小闭集,称为A的闭包,记为A1.显然A是闭集当且仅当A=A1.
设X是Rn中的非空子集,可以将其视为Rn的子空间:对任意X中的两点x=(x1, ,xn)和y=(y1, ,yn),仍以Rn中两点之间的距离公式d(x,y)来定义它们在X中两点之间的距离.Rn中任意开集与X的交即为X中的开集,Rn中任意闭集与X的交即为X中的闭集.x02X,任何包含x0的X中的开集称为x0在X中的一个开邻域.
设A是Rn中的非空点集,称为A的直径.如果d(A)<1,则称A是Rn中的有界集.
以下两个结果的证明见文献[14].
(1)聚点收敛定理.设X是Rn中的有界闭集,则对X中的任意序列,其必有子序列,使.
注1.1.1 这是数学分析实数理论中Weierstrass定理的推广.进一步,如果X是Rn中的有界集,则对X中的任意序列fxmg,其必有子序列,使,这里因X不一定是闭集,故x不一定属于X.
(2)有限开覆盖定理.设X是Rn中的有界闭集,是Rn中的任意一族开集(其中是指标集),则存在这族开集中的有限个开集,使.
注1.1.2 这是数学分析实数理论中Borel覆盖定理的推广.进一步,如果X是Rn中的有界闭集,是X中的任意一族开集(其中是指标集),则存在这族开集中的有限个开集G1, ,Gm,使
证明如下:
因G.是X中的开集,存在Rn中的开集G0.使.因,存在G01, ,G0m,使
故
设A是Rn中的非空子集,称d(x,y)为x与A之间的距离.
引理1.1.1 设A是Rn中的非空子集,则8x,y2Rn,有
(这表明对x是连续的).
证明,有
故
同样有
*后得
易证以下引理.
引理1.1.2(1)设A是Rn中的非空子集,则d(x,A)=0当且仅当.
(2)设A是Rn中的非空闭集,则当且仅当x2A.
设X是Rn中的非空子集,是一个函数,如果,存在x0在X中的开邻域,使,有f则称f在x0是上半连续的(或下半连续的).如果f在x0既上半连续又下半连续,则称f在x0是连续的,此时,有.如果在x连续(或上半连续,或下半连续),则称f在X上是连续的(或上半连续的,或下半连续的).
引理1.1.3 设X是Rn中的非空子集,是一个函数,则
(1)f在X上是上半连续的当且仅当是X中的闭集,
(2)f在X上是下半连续的当且仅当是X中的闭集,
(3)f在X上是连续的当且仅当和都是X中的闭集.
证明 只证(1).设f在X上是上半连续的,则,因f在x0上半连续且则当m充分大时,有.因是任意的,故,必是X中的闭集.
反之,因是X中的闭集,故必是X中的开集.记,它是x0在X中的开邻域,有,f在x0必是上半连续的.
注1.1.3 可以将引理1.1.3叙述为以下:
(1)f在X上是上半连续的当且仅当是X中的开集,
(2)f在X上是下半连续的当且仅当是X中的开集,
(3)f在X上是连续的当且仅当和都是X中的开集.
定理1.1.1 设X是Rn中的有界闭集,则
(1)如果f在X上是上半连续的,则f在X上有上界,且达到其**值,
(2)如果f在X上是下半连续的,则f在X上有下界,且达到其*小值,
(3)如果f在X上是连续的,则f在X上既有上界也有下界,且达到其**值和*小值.
证明 只证(1).用反证法,如果f在X上无上界,则对任意正整数m,存在,使f.因X是Rn中的有界闭集,由聚点收敛定理,必有的子序列,使.因f在x0是上半连续的,令,当充分大时,有,由此得,矛盾.
记,则对任何正整数m,存在,使.同上,存在的子序列,使,当充分大时,有M.,故.因是任意的,有.又,*后得.
注1.1.4 可以用有限开覆盖定理来证明(1):用反证法,如果结论不成立,则,必存在,使f(y)>f(x),即,其中.由注1.1.3(2),G(y)是开集.因,而X是Rn中的有界闭集,由有限开覆盖定理,存在,使.不妨设,则易知.因,故,矛盾.
定理1.1.2 设X是Rn中的有界闭集,是X中的m个开集,且,则存在从属于此开覆盖的连续单位分划,即满足
(1)在X上是连续的,且,有,
(2)如果,则,
(3).
证明 定义如下:
首先,如果,则,有,因是开集,是闭集,由引理1.1.2(2),有,即,而,这与矛盾.又由引理在X上必连续,且有,如果,则,定义x的范数(或模).
显然有
(1)当且仅当x=0,
(2),
(3).
注意到,有.这样当且仅当.
显然有
(1)当且仅当x=0,
(2),
(3).
有,且有以下引理.
引理1.1.4 (1)有(Cauchy不等式),
(2)平行四边形公式成立.
证明 (1)由得以上关于.的二次三项式的判别式
故
(2)
设X和Y分别是Rm和Rn中的两个非空子集,Rm和Rn上的距离函数分别记为d和是一个映射.如果,存在x0在X中的开邻域,使,有,则称映射f在x0上连续的.如果f在X中的每一点都连续,则称f在X上是连续的.此外,定义,定义(x,y)和之间的距离
易知如果X和Y分别是Rm和Rn中的有界闭集,则X£Y必是Rm+n中的有界闭集.