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陶哲轩实分析
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陶哲轩实分析

  • 作者:陶哲轩 者 王昆扬
  • 出版社:人民邮电出版社
  • ISBN:9787115186935
  • 出版日期:2008年01月01日
  • 页数:464
  • 定价:¥69.00
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    内容提要
    强调严格性和基础性,书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等),再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,*后到达Lebesgue积分,这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录。课程的材料与习题紧密结合,目的是使学生能动地学习课程的材料,并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。
    文章节选
    此书的材料来源于2003年我在加州大学洛杉矶分校教授高等本科水平实分析系列课程的讲义。本科生普遍认为实分析是*难学的课程之一,这不仅是由于许多抽象概念(例如拓扑、极限、可测性,等等)初次遇到,而且也是由于课程所要求的证明的高度严格性。由于认识到这个困难,老师常常面临困难的选择,要么降低课程的严格性水平而使其容易一些,要么保持严格的标准而去面对众多学生、甚*很多优秀学生在与课程的材料进行艰难奋斗时的求助与企盼。
    面对此种困境,我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程。按照典型的方式,在实分析中一系列导引内容是预先假定了的,假定学生已经熟知实数,熟知数学归纳法,熟悉初等微积分,并且熟悉集合论的基础知识,然后一下子就进入课程的核心内容,例如极限概念。通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这些预备性的知识,但在绝大多数情况下,这些材料都不是认真地叙述的。例如,极少有学生能够真正地定义实数,甚或真正地定义整数,尽管他们可以直觉地想象这些数字并熟练地对它们进行代数运算。我觉得这好像是失去了一个良好的机会,在学生**遇到的课程当中,实分析(与线性代数和抽象代数一样)是这样的一门课,人们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质。正因如此,这门课程提供了一个极好的机会去回顾数学的基础,特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释的机会。
    于是我这样来安排这门课。在**周,我描述分析中的一些众所周知的“悖论”,在这些悖论中,平常的算律(例如极限与求和的交换,或求和与积分的交换)以不严格的方式加以使用而导出像0=1那样的荒谬的结果。这就启发我们提出这样的要求:回到事物的开端,甚*回到自然数的真正的定义,并且要求从头检验全部的基础原理。例如,**个习题就是(只使用Peano公理)验证自然数的加法是结合的(即(a+b)+c=a+(b+c)对于一切自然数a,b,c成立,见习题2.2.1)。那么,即使是在**周,学生也必须使用数学归纳法来写出严格的证明。当��导出自然数的全部基本性质之后,我们就转向整数(其原始定义是自然数的形式差);一旦学生验证了整数的一切基本性质,我们就转向比例数①(其原义是整数的形式比);而后我们就(经由cauchy序列的形式极限)转到实数。与此同时,还要涉及集合论的基础,例如演示实数的不可数性。仅在此后f大约十讲之后)我们才开始进入人们通常认为的实分析的核心内容--极限、连续性、可微性,等等。
    目录
    **部分
    第1章引论
    1.1什么是分析学
    1.2为什么要做分析

    第2章从头开始:自然数
    2.1Peano公理
    2.2加法
    2.3乘法

    第3章集合论
    3.1基本事项
    3.2Russell悖论(选读)
    3.3函数
    3.4象和逆象
    3.5笛卡儿乘积
    3.6集合的基数

    第4章整数和比例数
    4.1整数
    4.2比例数
    4.3**值与指数运算
    4.4比例数中的空隙

    第5章实数
    5.1Cauchy序列
    5.2等价的Cauchy序列
    5.3实数的构造
    5.4给实数编序
    5.5*小上界性质
    5.6实数的指数运算,第Ⅰ部分

    第6章序列的极限
    6.1收敛及极限的算律
    6.2广义实数系
    6.3序列的上确界和下确界
    6.4上极限、下极限和极限点
    6.5某些基本的极限
    6.6子序列
    6.7实的指数运算,第Ⅱ部分

    第7章级数
    7.1有限级数
    7.2无限级数
    7.3非负实数的和
    7.4级数的重排
    7.5方根判别法与比例判别法

    第8章无限集合
    8.1可数性
    8.2在无限集合上求和
    8.3不可数的集合
    8.4选择公理
    8.5序集

    第9章R上的连续函数
    9.1实直线的子集合
    9.2实值函数的代数
    9.3函数的极限值
    9.4连续函数
    9.5左极限和右极限
    9.6*大值原理
    9.7中值定理
    9.8单调函数
    9.9一致连续性
    9.10在无限处的极限

    第10章函数的微分
    10.1基本定义
    10.2局部*大、局部*小以及导数
    10.3单调函数及其导数
    10.4反函数及其导数
    10.5L'Hopital法则

    第11章Riemann积分
    11.1分法
    11.2逐段常值函数
    11.3上Riemann积分与下Riemann积分..
    11.4Riemann积分的基本性质
    1.5连续函数的Riemann可积性
    11.6单调函数的Riemann可积性
    11.7一个非Riemann可积的函数
    11.8Riemann-Stieltjes积分
    11.9微积分的两个基本定理
    11.10基本定理的推论
    第二部分

    第12章度量空间
    12.1定义和例
    12.2度量空间的一些点集拓扑知识
    12.3相对拓扑
    12.4Cauchy序列及完备度量空间
    12.5紧致度量空间

    第13章度量空间上的连续函数
    13.1连续函数
    13.2连续性与乘积空间
    13.3连续性与紧致性
    13.4连续性与连通性
    13.5拓扑空间(选读)

    第14章一致收敛
    14.1函数的极限值
    14.2逐点收敛与一致收敛
    14.3一致收敛性与连续性
    14.4一致收敛的度量
    14.5函数级数和WeierstrassM判别法
    14.6一致收敛与积分
    14.7一致收敛和导数
    14.8用多项式一致逼近

    第15章幂级数
    15.1形式幂级数
    15.2实解析函数
    15.3Abel定理
    15.4幂极数的相乘
    15.5指数函数和对数函数
    15.6谈谈复数
    15.7三角函数

    第16章Fourier级数
    16.1周期函数
    16.2周期函数的内积
    16.3三角多项式
    16.4周期卷积
    16.5Fourier定理和Plancherel定理

    第17章多元微分学
    17.1线性变换
    17.2多元微分学中的导数
    17.3偏导数和方向导数
    17.4多元微分链法则
    17.5二重导数与Clairaut定理
    17.6压缩映射定理
    17.7多元反函数定理
    17.8隐函数定理

    第18章Lebesgue测度
    18.1目标:Lebesgue测度
    18.2**步:外测度
    18.3外测度不是加性的
    18.4可测集
    18.5可测函数

    第19章Lebesgue积分
    19.1简单函数
    19.2非负可测函数的积分
    19.3**可积函数的积分
    19.4与Riemann积分比较
    19.5Fubini定理
    附录A数理逻辑基础
    附录B十进制
    索引
    ……
    编辑推荐语
    “我对此书的赞赏,首先是它的逻辑严格。从实数(甚*自然数)讲起,不留任何漏洞。国内外的实分析教科书,认真讲实数的实在不多。其次是陶哲轩认真的教学态度。他的讲述,贯穿严谨、透彻的精神,而其苦口婆心的态度,分外令人感动。第三,此书是基于讲义写成的,我赞赏它的令人读来感到亲切的风格。”
    --*昆扬,北京师范大学教授
    源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加卅I大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。原著分为两卷,中译本将两卷合并出版。
    全书从分析的源头--数系的结构及集合论开始,然后引向分析的基础,再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析,*后到达Lebesgue积分。这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的,将严格性和直观性**结合起来。而且课程的材料与习题配合无间,非常便于学习。
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