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常微分方程定性方法的应用
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常微分方程定性方法的应用

  • 作者:丁同仁 丁同仁
  • 出版社:高等教育出版社
  • ISBN:9787040132113
  • 出版日期:2004年01月01日
  • 页数:330
  • 定价:¥27.10
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    内容提要
    《常微分方程定性方法的应用》内容侧重于常微分方程定性方法在理论研究中的应用,它与作者在北京大学数学系多年从事的常微分方程教学和研究工作有密切的联系,适合于同行教师和研究生们的教学用书。全书共有六章,分别为:常微分方程基础知识,Poincare指数及其应用,拓扑动力系统与混沌,对几个公开问题的探讨,Duffing微分方程的非共振性和对几个特殊微分方程的分析。
    文章节选
    本书内容侧重于常微分方程定性方法在理论研究方面的应用,它与作者在北京大学数学系多年从事的常微分方程教学和研究工作有密切的联系,可作为同行教师和研究生的教学参考书.
    **章从常微分方程的一些古典的定理开始,其实它们也是现代动力系统理论的基础.作者在教学工作中有机会反复思考这些内容,像嚼橄榄一样品尝到其中滋味.简单的概念可以是理论发展的轴心.例如,常微分方程的初值问题从分析解的局部性质到全局性质,从研究运动的确定过程到随机过程,贯串于常微分方程理论发展的整个历史.所谓确定过程是指初值问题解的存在和**性,它在有限时间内蕴含解对初值的稳定性.这意味着常微分方程初值问题的解在有限时间内是可以预报的.另外,解的存在和**性也蕴含一般差分计算的收敛性,这为差分方法在常微分方程的应用提供了*简单的条件.而所谓随机过程说的是:Poincar6发现某些微分方程初值问题的解在无限时间内是不可预报的,其原因在于这种解在无限时间内对初值是敏感的(从而是不稳定的).这也是现代混沌学的核心.
    第二章介绍了有关向量场和不动点定理的基本知识,其中Poincar6Bohl不动点定理和Poincare-Birkhoff扭转定理是**内容,因为它们在本书有多次的应用.其次,我们按Poincar6指数的定义就闭曲线上的向量场证明了。Poincar6-Bendixson的指数公式,而且在闭曲面上对Poincar6-Hopf的指数公式给出一个非传统的证明.另外,我们还介绍了Littlewood关于Brouwer不动点定理的推广。
    第三章的主要内容是拓扑动力系统的基础知识,其核心思想是运动的各种回复性,它们是周期性不同的推广.首先是在Poisson意义下的所谓P-式回复运动以及相关的准极小集;其次是由Birkhoff发现的所谓B-式回复运动及其与极小集的联系,包括对Poincar6-Bendixson定理的推广;*后是概周期运动,其中一个经典的定理是:B-式回复运动是概周期的当且仅当它对轨线的闭包是Liapunov稳定的.
    然后,作为古典动力系统的发展,我们按wiggins的定义介绍了混沌运动的基本知识,它的特征是对初值的敏感性.因此,混沌运动不是概周期的运动.值得注意,混沌运动是准极小集内的P一式回复运动,但重要的问题是逆命题何时成立?
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