**章 改变世界的数学
割圆术与圆周率
中国古代有一句话:“圆,一中同长也”。意思是说:“圆”只有一个**,周围的每一点到**的距离都相等。古代的世界各国都有对圆的研究。那么在中国,人们是怎么研究圆一的呢?
早在中国先秦时期,《墨经》上就已经给出了圆的这个定义。而古代的记载中还有,公元前11世纪我国西周时期数学家商高与周公讨论过圆与方。认识了圆,人们也就开始了有关圆的种种计算,特别是经常需要计算圆的面积。
中国古代数学经典著作《九章算术》在**章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所熟悉的圆面积公式。为了证明这个公式,中国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写了《九章算术注》,在公式后面写了一篇1800余字的注记。这篇注记就记载了数学史上**的“割圆术”。
根据刘徽的记载,在他之前,人们求证圆面积公式时,是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积的。应用出入相补原理,将圆内接正十二边形拼补成一个长方形,借用长方形的面积公式来计算《九章算术》的圆面积公式。
刘徽指出,这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长,以圆半径作为高的长方形,它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”,也就是后来常说的“周三径一”。圆周长是半径的三倍,当然这是不严密的近似值。
刘徽认为,圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差,只对圆形做有限次的分割、拼补,是没有办法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此,他大胆地进一步分割圆周,从圆内接正六边形开始割圆,将圆内接正多边形的边数不断加倍。这样一次次的计算结果,就构成了一个序列。它们与圆面积的差将越来越小。当边数不能再加的时候,圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。
用刘徽的话来说就是:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣”。
……