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中公版·2020考研数学:线性代数专项辅导
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中公版·2020考研数学:线性代数专项辅导

  • 作者:中公教育研究生考试研究院
  • 出版社:世界图书出版公司
  • ISBN:9787519212506
  • 出版日期:2019年01月01日
  • 页数:168
  • 定价:¥28.00
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    内容提要
    《中公版·2020考研数学:线性代数专项辅导》是针对参加2020年考研数学的考生编写的一本专项图书,书中包含了考研数学大纲规定的线性代数的全部考点。
    全书共分六章,每章包含六个模块。【学习提要】和【考试要求】简单分析了本章知识点与其他章节之间的联系以及考试大纲对各考点的具体要求。【本章知识框架图】再现了本章知识网络。【基础知识讲解】以浅显的角度切入,详细地讲解了本章涉及的基本概念、重要定理和性质,部分核心考点附有二维码,考生扫码可以听微课。【典型例题与方法技巧】对各考点涉及的题型做了细致的分类。【本章同步练习题】与“同步练习题答案解析”相配套,筛选了适量习题,供考生自测学习效果,个别题目附有二维码,考生扫码可听题目视频讲解。
    文章节选
    行列式作为线性代数的基础,对于考生解决考研试题中线性代数部分的题目*关重要。本章节的知识点在考试过程中一般不会被直接考查,但它与后续章节的联系非常紧密,因此涉及本章知识点的考题综合性很强,出现形式以选择题为主。在解题过程中除了要用到行列式常见的性质外,更需要结合矩阵、向量和特征值等相关知识点,所以对考生综合能力要求较高。考生需要有扎实的基础,不仅要理解行列式的概念,还要牢固掌握行列式的性质,更要懂得如何应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
    1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质。
    2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。
    一、行列式的概念
    (一)二阶行列式的概念
    设有4个数排成两行两列(横排称行,竖排称列)的数表
    a11a12
    a21a22,
    表达式a11a22-a12a21称为上表确定的二阶行列式,并记作a11a12a21a22。
    (二)三阶行列式的概念
    设有9个数排成3行3列的数表
    a11a12a13a21a22a23a31a32a33,(1)
    记a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,(2)
    则(2)式称为数表(1)确定的三阶行列式。
    (三)n阶行列式的相关概念
    1.逆序数的概念
    设n个元素为1到n这n个自然数,并规定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个自然数的一个排列,考虑元素pi(i=1,2,…,n),如果���pi大的且排在pi前面的元素有ti个,则称pi这个元素的逆序数是ti,全体元素的逆序数之和为
    t=t1+t2+…+tn=∑nt=1ti,
    即这个排列的逆序数。
    逆序数为奇数的排列叫作奇排列,逆序数为偶数的排列叫作偶排列。
    视频讲解
    2.n阶行列式的概念
    设有n2个数,排成n行n列的数表
    a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann,
    作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(-1)t,得到形如
    (-1)ta1p1a2p2…anpn(3)
    的项,其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列,t为这个排列的逆序数,由于这样的排列共有n!个,因而形如(3)式的项共有n!个,所有这n!项的代数和
    ∑(-1)ta1p1a2p2…anpn
    称为n阶行列式,记作
    D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann,
    简记作det(aij),其中数aij为行列式D的(i,j)元。
    3.余子式与代数余子式的概念
    在n阶行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫作(i,j)元aij的余子式,记作Mij;记Aij=(-1)i+jMij,Aij叫作(i,j)元aij的代数余子式。
    4.转置行列式的概念
    记D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann,DT=a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann,
    行列式DT称为行列式D的转置行列式。
    二、行列式的性质
    视频讲解
    性质1行列式与它的转置行列式相等。
    性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。
    推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
    性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。
    推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
    性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
    性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i列的元素都是两数之和:
    D=a11a12…(a1i+a′1i)…a1na21a22…(a2i+a′2i)…a2nan1an2…(ani+a′ni)…ann,
    则D等于下列两个行列式之和
    D=a11a12…a1i…a1na21a22…a2i…a2nan1an2…ani…ann+a11a12…a′1i…a1na21a22…a′2i…a2nan1an2…a′ni…ann。
    性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。
    例如以数k乘第j列加到第i列上(记作ci+kcj),有
    a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2nan1…ani…anj…annci+kcja11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2nan1…(ani+kanj)…anj…ann(i≠j)。
    (以数k乘第j行加到第i行上,记作ri+krj。)
    三、行列式的计算
    (一)行列式按行(列)展开定理
    视频讲解
    定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
    D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n),
    或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)。
    推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
    ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0,i≠j,
    或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0,i≠j。
    (二)递推法
    利用行列式的性质或展开式找出递推关系式,再根据所得的递推关系式递推或迭代求出所给行列式的值,该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算。
    (三)归纳法
    (1)数学归纳法:
    步,验证n=1时,命题fn正确;
    第二步,设n=k时,命题fn正确;
    第三步,证明n=k+1时,命题fn正确。
    (2)第二数学归纳法:
    步,验证n=1和n=2时,命题fn都正确;
    第二步,设n 第三步,证明n=k时,命题fn正确。
    (四)公式法
    1.二阶及三阶行列式的计算
    二阶行列式的值a11a12a21a22=a11a22-a12a21;
    三阶行列式的值a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32。
    2.上(下)三角形行列式的计算
    上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积。
    a11a12…a1n0a22…a2n00…ann=a110…0a21a22…0an1an2…ann=∏ni=1aii。
    3.有关副对角线的行列式的计算
    a11a12…a1,n-1a1na21a22…a2,n-10an-1,1an-1,2…00an10…00=00…0a1n00…a2,n-1a2n0an-1,2…an-1,n-1an-1,nan1an2…an,n-1ann=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1…an1。
    4.两个特殊的拉普拉斯展开式
    设A为n阶方阵,B为m阶方阵,则
    AO*B=A*OB=A·B,
    OAB*=*ABO=(-1)mnA·B。
    5.n阶范德蒙德行列式的计算
    Vn=11…1x1x2…xnx21x22…x2nxn-11xn-12…xn-1n=1x1x21…xn-111x2x22…xn-121xnx2n…xn-1n=∏1≤j 显然,当且仅当x1,x2,…,xn两两不等时,Vn≠0。
    目录
    目录
    章行列式
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、行列式的概念
    二、行列式的性质
    三、行列式的计算
    典型例题与方法技巧
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    第二章矩阵
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、矩阵及其运算
    二、逆矩阵及其运算
    三、等价矩阵及矩阵的秩
    四、分块矩阵及其运算
    典型例题与方法技巧
    一、矩阵及其运算
    二、逆矩阵及其运算
    三、初等变换及矩阵的秩
    四、分块矩阵及其运算
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    第三章向量
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、向量组的相关知识
    二、向量空间的相关知识
    典型例题与方法技巧
    一、向量组的相关问题
    二、向量空间的相关问题
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    第四章线性方程组
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、齐次线性方程组
    二、非齐次线性方程组
    典型例题与方法技巧
    一、齐次线性方程组
    二、非齐次线性方程组
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    第五章矩阵的特征值和特征向量
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、特征值和特征向量
    二、可相似对角化
    三、实对称矩阵
    典型例题与方法技巧
    一、特征值和特征向量
    二、可相似对角化
    三、实对称矩阵
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    第六章二次型
    学习提要
    考试要求
    本章知识框架图
    基础知识讲解
    一、二次型及其标准形
    二、正定二次型
    典型例题与方法技巧
    一、二次型及其标准形
    二、正定二次型
    本章同步练习题
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    同步练习题答案解析
    编辑推荐语
    因印刷批次不同,图书封面可能与实际展示有所区别,增值服务也可能会有所不同,以读者收到实物为准。





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