第1章 基本概念
本书主要介绍常微分方程的一些*基本的理论和方法。第1章首先给出微分方程及其解的定义,并予以相应的几何解释。实际上,这也是为以后各章进一步地学习所作的必要准备。
1.1 微分方程及其解的定义
微分方程是一门十分活跃的数学分支。利用数学手段研究自然现象和社会现象,或解决工程技术问题,一般需要对问题建立数学模型,再对它进行分析求解或近似计算,然后按实际的要求对所得的结果做出分析和探讨。数学模型*常见的表达方式是包含自变量和未知函数的函数方程。在很多情形下,这类方程还包含未知函数的导数,它们就是微分方程。例如,人口定量分析、生物种群的发展变化以及在交通环境下用牛顿第二运动定律列出的质点运动方程等都是微分方程,其中质点运动方程中的未知函数代表质点的坐标,它们对自变量(时间)的一阶导数和二阶导数分别表示质点的运动速度和加速度。
现在,我们给出如下的定义。
定义1.1 凡是联系自变量z,与这个自变量的未知函数y—y(z)和它的导数Y1=y1(z)以及直到n阶导数Y(n)=Y(n)(x)在内的方程叫做常微分方程,其中导数实际出现的*高阶数n叫做常微分方程(1.1)了阶。
注1.1,这里F是一个关于变元x,y,y'…y(n)的给定的已知函数。因此,诸如y'(x)=(x-1)之类的方程就不是常微分方程。
例如,下面的方程都是常微分方程:
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