为什么数学游戏很重要？因为它们能激发人类思维中*好的部分。奥尔林用这本交互式的数学游戏集帮助我们打开了数学世界的趣味大门，揭示了数学的深层真理。本书包含**井字棋、豆芽游戏、收税员、星系棋等70多款来自各个**的经典游戏，分为五大类，涵盖了从逻辑到概率，从几何到拓扑，从组合到博弈论等数学理论，严格遵循着有趣、容易玩、在数学上给人启迪这三大设计原则。*重要的是，作者用漫画的形式阐释了它们的玩法，很多游戏只需1分钟的时间即可掌握，但可能会给你带来一辈子的乐趣。

**井字棋 关于分形结构的游戏 2013年，在数学系的一次野餐活动上，我偶然知道了这个游戏，并在之后写了一篇介绍它的文章。那篇文章引发了短暂的互联网现象，不但登上了黑客资讯（Hacker News）的头条[ 如果你不知道黑客资讯是什么，就有点奇怪了哦。——作者注]，还登上了红迪��（Reddit）的首页[ 如果你不知道红迪网是什么，也有点奇怪哦。——作者注]，甚至催生了一个小型的手机app[ 如果你不知道手机app是什么，很正常。——作者注]产业。我的职业生涯在很大程度上归功于这款游戏，因此我深入思考了它与众不同的原因。是因为游戏规则巧妙？还是因为下棋策略不复杂？抑或因为它和极限飞盘运动之间存在潜在的联系[ “极限飞盘”的英文为Ultimate Frisbee，Ultimate本意为“**”。]？
近些年来，我逐渐发现，使**井字棋变得无可取代的是另一种特质——分形（我早就应该想到这一点）。 从空中的云朵到天边的海岸线，再到大树的枝杈，我们生活在分形的包围之中，也许这就是为什么**井字棋玩起来让人感觉如此自然。这是传统井字棋一直渴望成为的样子。 这个游戏怎么玩？
你需要准备什么？2名玩家、笔和纸。画一个大的井字棋盘，然后在每个方格中填上小的井字棋盘。 玩家的目标是什么？赢得三个可以连成一条线的小棋盘。 游戏的规则是怎样的呢？ （1）两个玩家轮流标记自己的方格。游戏的**步可以设定在任何方格；但在此之后，你必须根据对手之前的行动在小棋盘上操作。该怎么做呢？就是无论他们选择哪个方格，你都必须在位置对应的小棋盘上进行下一步。
（2）如果你在小棋盘上占领了三个连成一条线的方格，你就赢得了这个小棋盘。这样一来，这个小棋盘就被关闭了，而对方玩家则需要在其他任意小棋盘上操作下一步。
（3）占领连成一条线的三个小棋盘的玩家获胜。
关于其他可能的获胜条件，详见**井字棋的变体及相关游戏。 游戏体验笔记
2018年5月的**，我在“538”网站[ 美国一个**的通过建立模型进行分析预测的网站。]上浏览新闻时，看到一个令人惊讶的新闻标题。“唐纳德·特朗普（Donald Trump）没在玩3D国际象棋[ 一款界面十分漂亮的国际象棋软件。]，”**记者奥利弗·罗德（Oliver Roeder）在这则头条新闻中写道，“他玩的是**井字棋。”
当时，人们花了很多时间分析特朗普总统的行为。他从一场政治斗争跳到另一场政治斗争，常常因为一时兴起就改变讨论的主题。他是在实施什么大计划吗？或者只是遵从内心疯狂的冲动？“他是不是以为自己在下3D国际象棋？”批评者经常打趣道。
奥利弗·罗德对此观点表示赞同。但在他看来，特朗普完全是在玩另一场游戏。
国际象棋只有一个战场，而**井字棋有很多。“这些战场以奇怪而复杂的方式相互作用，”罗德写道，“即便是一局经过深思熟虑的**井字棋游戏，乍一看也很随意、简单，甚至愚蠢至极。”这是一个“流动的、不断变化目标的”游戏，适用的策略包括“声东击西、拖延误导和即兴发挥”。换句话说，就是特朗普式的媒体策略。
这是良好的政治状态吗？也许不是。那么，这是良好的游戏状态吗？**是的。不仅如此，它还是一个绝妙的空间概念：一种分形视觉，让大棋盘和小棋盘之间产生共鸣。
如此一来，就营造出一种局势紧张的氛围。在小棋盘上看起来不错的一步棋，（如占据了**方格）在整体布局中可能会变成一个错误（将对手送到**棋盘）。要想获胜，你必须实现这两个层面的平衡，去做那些政治活动家努力做的事：“全球化思维，本地化行动。” 这个游戏从何而来？
我能找到的*早版本是1977年的一款桌游，名为“Tic Tac Toe Times 10”。后来有一个名叫“Tic Tac Ku”的版本赢得了2009年的门萨精选奖，它的规则和现在略有不同（玩家要想获胜，需要先占领九个小棋盘中的五个，而不是占领连成一条线的三个小棋盘）[ 这个游戏的规则还规定，如果你被送到一个已经获胜的小棋盘上，即使已经无法再影响那个棋盘的结果，你仍然必须在那里继续游戏。这个看似无伤大雅的改变*终破坏了游戏，原因在我撰写的《欢乐数学》系列的**本中有提及。为了得到好的游戏体验，还是应该把已经占领的棋盘当作已关闭的赛场。——作者注]。几年后，一个名为“Tic Tac Ten”的电子版本问世，游戏规则的改变加速了游戏的进程：只要占领一个小棋盘，你就赢得了整场游戏。
尽管如此，我在2013年发表的博客文章仍然标志着这款游戏被收录到流行语词典。
这个游戏有很多不同的名字。维基百科中提到的有“**井字棋”“战略井字棋”“变体井字棋”和“井字棋二次方”等，但遗漏了我听到的另外两个，即我*喜欢的“分形井字棋”和*不喜欢的“井字棋空间”。[ 我认为，每个对语言较真的人都可以进行一场注定失败的堂吉诃德式战斗，但是只允许进行一场。如果你对非字面意义上的“literally”（literally原意为“确实的、字面意义上”，但常被用于夸张地强调，导致它的本意丧失）感到愤怒，那你就不能对“irregardless”（regardless本身为否定词，意为“不管”，加上“ir”后本应为双重否定，但在口语中，irregardless仍被习惯性地当作“不管”来用）这个词再出拳了。如果你愿意战死在“data（数据）应该是复数”的那座山上，你就不能同时死在旁边“begs the question and raises the question”（begs the question原意为“回避问题”，但在实际使用中，常被误用为“提出问题”，即被当作“raises the question”使用）的那座山上。你必须选择一场对你来说*重要的，并且你认为人类文明赖以生存的战斗。我选择的战斗是“inception”这个词。2010年，那部令人瞩目的电影《盗梦空间》，原名为“Inception”，“inception”指的是在别人头脑中植入想法，让他们以为这个想法是自己产生的。这是个非常有用的概念，是我试图对生命中的每个人做的，就像他们同时（更成功地）对我做的那样。可惜的是，这部电影令人难忘的高潮是一个嵌套的梦中梦结构。因此，人们开始使用“inception”来形容“物中物”，如在比萨（pizza）上面加一个迷你比萨就成了“pizza-ception”。在我看来，“inception”在这里的使用蠢爆了，因为它不但挤走了嵌套概念的专有名称（分形比萨），还让“植入想法”这个概念没有词可以用了（“pizza-ception”的意思本来应该是“植入比萨的想法”）。不过事已至此，如果你同意我的观点，欢迎拍下这个脚注，并发给推特上的那些议员。虽然我认为他们对这个问题也束手无策，但我就是喜欢看到他们被奇奇怪怪的推特淹没的样子。——作者注
]无论如何，“**”这个词似乎被人们记住了。这是我无比自豪的一点，因为它是我奥克兰特许高中的学生想出来的。 为什么这个游戏很重要？
因为我们生活在一个分形世界里。
分形是指在不同尺度上看起来相同的东西。它对放大漠不关心，对缩小也无动于衷。看到树枝如何分裂成更小的树枝了吗？每一根树枝都是整体的微缩版。还有那沿着锯齿状曲线延伸的海岸线，在不同的尺度上看起来也都一样，甚至连云朵蓬松的结构也具有分形的特性。
这些分形事物蕴含的美感绝非偶然。一个简单的设计原则在不同的尺度上无限重复，就能创造出迷人的复杂性。这就是《混沌》（Chaos）的作者詹姆斯·格雷克（James Gleick）所说的“一种摇摆不定且充满活力的和谐”。
19世纪，分形溜进了数学界的聚会，它不请自来，显得有些格格不入。分形带来的那些新形状参差不齐、不成体系，而且很难描述。数学家用“病态”这个词来形容它们，因为它们破坏了几何学的所有规则。
然而，几十年来，从没有人正儿八经地给这些形状归类，它们只是一堆兼容性很差的玩具。直到20世纪，数学家伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）将它们统称为“分形”（fractal），并开始将其视为**方法，而不是疾病。他用分形**什么呢？嗯，根除那个认为三角形、正方形和椎形与物理现实有关的疯狂老观点。根据伯努瓦的说法，真正病态的是我们在学校里教的几何知识。“云不是球体，”他写道，“山不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是沿直线传播的。”
大自然不属于欧几里得的世界，它属于分形世界。
柏拉图肯定很讨厌分形几何。这位古代哲学家如此坚定地相信纯粹的欧几里得几何，他在一次对话中曾假定整个宇宙是由三角形——确切地说，是两类堪称学生梦魇的“特殊直角三角形”——构成的。
嗯，好的，柏拉图，请你浏览一下照片墙（Instagram）上你*喜欢的自然风光类账号。你看到了多少个直角三角形？
现在再来看看，有多少个分形？分形比直角三角形更常见，不是吗？
大自然就是一个分形花园。山是锯齿状的岩石堆，顶部是更小的岩石堆，而它们的顶部是更小更小的岩石堆。在你的肺里，从气管开始分支、分支，再分支，平均分支23次，*后形成像气球一样的小肺泡，向血液中输送氧气。简言之，你的呼吸就来自分形。早在分形几何学诞生的几十年前，地质学家就已经意识到，小河床和大峡谷在照片中很难区分，所以他们总是会在画面中放一个镜头盖或锤子作为比例参考。
每个小事物都是一个微观世界，每个大事物都是一个宏观世界，每一个尺度都与另一个尺度相呼应。 当然，准确地说，我办公室窗外的那棵树并没有无限次地分支，估计*多不超过8次。然而，根据数学家迈克尔·弗雷姆（Michael Frame）和诗人阿米莉亚·厄里（Amelia Urry）合著的《分形世界》（Fractal Worlds）一书，这已经足够了。一个事物至少得有三个自相似的层级，才能被称为“分形”。**井字棋，作为由正方形组成的正方形再组成的正方形，符合这一条件。如果你想更深入一级，把9个这样的游戏组合成一个由729个正方形构成的棋盘，请便。[ 这样的话，游戏规则要怎么调整呢？可以试试让你的行动位置由前两步决定：上上一步（你走的）决定你在哪个中等大小的棋盘上玩，上一步（你的对手走的）决定你在哪个小棋盘上玩。有一项世界纪录正在等待着希望（并敢于）尝试这一方法的人。——作者注]
我承认，**井字棋缺少分叉闪电的戏剧性。它是一种人为的分形，就像人造电容器里的分形、汤姆·斯托帕德[ 汤姆·斯托帕德（Tom Stoppard，生于1937年），英国剧作家，代表作有《莎翁情史》《郁金香狂热》和《拦截密码战》等。]戏剧里的分形，或者萨尔瓦多·达利[ 萨尔瓦多·达利（Salvador Dalí，1904—1989），西班牙艺术家，被誉为20世纪*有代表性的画家之一，因其超现实主义作品而闻名，代表作有《记忆的永恒》《一条安达鲁狗》和《内战的预兆》等。
]（Salvador Dalí）画作中的分形。尽管如此，就像所有蕴藏着人类智慧的作品一样，**井字棋从大自然的深井（这口井里充满了分形）中汲取灵感。
“从普朗克长度到整个宇宙都可能存在分形结构，”迈克尔和阿米莉亚写道，“也许还覆盖所有出现分支变化的宇宙。据我们所知，更大的尺度范围是不可能的。”
也许我的学生在给分形井字棋取这个*贴切的名字——**——时，就已经想到了这一点。 变体及相关游戏
单次胜利：首先占领任意一个小棋盘的玩家将赢得这场游戏。 多数规则：为了获胜，你必须占领比对手更多的小棋盘。它们的排列不重要，重要的是，它们的数量。 共享领地：在一般的游戏中，如果一个小棋盘被占领后没有和其他两个被占领的小棋盘连成一条线，对双方玩家来说都没有意义。但如果你愿意，你可以把它视为两名玩家共有（这样就更容易连赢三个棋盘）。 **掉落三：本·伊赛克（Ben Isecke）给了我这个想法，这是**井字棋和四子棋的**结合。游戏步骤与**井字棋一样，除了一点，即无论你把X或O放在哪里，它都会“掉落在”那个小棋盘中尽可能远的位置。在任何一个迷你棋盘上优先占领可以连成一条线的3个方格即为赢家（或者也可以定为优先占领连成一条线的3个小棋盘）。
在每个回合中，你只有三个选择：左、中、右。结果便是游戏过程变得让人更紧张、压力更大，但仍然非常复杂。 双重游戏：在原来的游戏中，对手的走法决定了你下一步必须走的小棋盘，而双重游戏则扭转了这一局面。现在的情况是，对手的走法决定了你下一步必须走的小方格，但选择哪个小棋盘由你而定。 你也可以这样理解这个游戏：原来的游戏是把玩家送到一座城市，然后由玩家选择其中一个社区。现在的版本是事先规定一个社区，玩家可以选择任意一座城市并占领整个社区。
这是一场艰苦的比赛。我只能勉强走一步看一步，很难思考更多。一定要注意*新的那一步，否则一不留神就会迷路。

前言 第1章 空间游戏 点格棋 抽芽游戏 **井字棋 蒲公英游戏 量子井字棋 空间游戏大拼盘 第2章 数字游戏 筷子游戏 顺序游戏 从33到99 一分钱智慧 预言游戏 数字游戏大拼盘 第3章 组合游戏 Sim游戏 Teeko游戏 邻居游戏 直角游戏 亚马逊棋 组合游戏大拼盘 第4章 风险与回报游戏 削弱游戏 琶音游戏 离谱游戏 纸上拳击 赛车游戏 风险与回报游戏大拼盘 第5章 信息游戏 靶心游戏 买者自负 LAP游戏 量子钓鱼 塞萨拉游戏 信息游戏大拼盘 结语 致谢 常见问题