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医药高等数学学习辅导
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医药高等数学学习辅导

  • 作者:杨松涛 钱微微
  • 出版社:科学出版社
  • ISBN:9787030341136
  • 出版日期:2012年05月01日
  • 页数:155
  • 定价:¥21.90
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    内容提要
    医药高等数学学习辅导(第3版)是普通高等教育“十二五”规划教材、全国高等医药院校规划教材《医药高等数学》(第4版)的配套教材,也是医药高等数学学习辅导(第3版)的第3版。全书分10章,包括一元函数微积分、空间解析几何、多元函数微积分、微分方程与无穷级数。《医药高等数学》侧重于理论,医药高等数学学习辅导(第3版)侧重于理论知识的归纳总结、各类各层次习题的分析与解法,它有利于学生对高等数学的概念与理论的理解,有利于培养学生归纳总结、分析解决问题的能力,有利于学生对运算和方法的掌握,也有利于沟通教与学两个教学环节。
    医药高等数学学习辅导(第3版)可供高等医药院校各专业层次的学生使用。 医药高等数学学习辅导_杨松涛钱微微傅爽王蕴华钟志强曹敏邵建华路远芳胡灵芝黄浩_科学出版社_
    文章节选
    一、内容提要与基本要求
    本章介绍了函数的概念、性质与表示法;数列的极限、函数的极限;函数的增量;函数的连续性.函数是高等
    数学中研究的主要对象,极限方法是高等数学的主要方法.极限是从量变认识质变,从近似认识**,从有限认
    识无限的一种数学方法.本章必须掌握下面几方面的内容:
    1.正确理解函数的概念、性质,会求函数的定义域,能将复合函数分解为若干简单函数.
    2.正确理解函数的极限,能用ε-δ定义刻画函数的极限,理解xl→imx0
    f( x)是否存在与f( x) 在x0 是否有定义
    无关,了解极限的一些性质.
    3.熟练掌握极限运算法则,正确理解并熟练应用两个重要极限lxi→m0 sinx
    x = 1 ,xli→m∞ 1 + 1
    x
    x
    = e .
    4.了解无穷小量、无穷大量,掌握函数的极限与无穷小量的关系.
    5.正确理解函数y = f( x) 在x0 点处连续的概念,会判断函数的连续性与间断点,了解初等函数的连续
    性,掌握闭区间上连续函数的性质.
    二、习题一解答
    1.判断下列各对函数是否相同,并说明理由:
    (1) y = x + 1 与y = x2 - 1
    x - 1 ; (2) y = lnx2 与y = 2lnx ;
    (3) y = f( x) 与x = f( y) ; (4) y = 1 + 1
    x2 与y = 1 + x2
    x ;
    (5) y = 3 x4 - x3 与y = x ? 3 x - 1 ; (6) y = ax 与y = ex?lna .
    解 (1) 不同. y = x + 1 的定义域为( - ∞ ,+ ∞ ) , y = x2 - 1
    x - 1 的定义域为(- ∞ ,1) ∪ (1 , + ∞ ) .
    (2) 不同. y = lnx2 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0 , + ∞ ) , y = 2lnx 的定义域为(0 , + ∞ ) .
    (3) 相同.定义域和对应关系都相同.
    (4) 不同.对应关系不同.
    (5) 相同.定义域和对应关系都相同.
    (6) 相同.定义域和对应关系都相同.
    2.设f( x) = x
    x + 1 ,求f 1
    2 , f 3
    2 , f 1
    x ,[ f( x)]2 , f[ f( x)] , f{ f[ … f( x)]}
    n个f
    .
    解 f 1
    2 = 1
    3 , f 32
    = 3
    5 , f 1
    x = 1
    x + 1 , [ f( x)]2 = x2
    ( x + 1)2 .
    由于
    f[ f( x)] =
    x
    x + 1
    x
    x + 1 + 1
    = x
    2 x + 1 ,

    f{ f[ f( x)]} =
    x
    2 x + 1
    x
    2 x + 1 + 1
    = x
    3 x + 1 ,
    假定对n = k 均有
    f{ f[ … f( x)]}
    k个f
    = x
    kx + 1 ,
    对于n = k + 1 ,
    f{ f[ … f( x)]}
    k+ 1个f
    =
    x
    kx + 1
    x
    kx + 1 + 1
    = x
    ( k + 1) x + 1 ,
    故对于所有的n ,均有
    f{ f[ … f( x)]}
    n个f
    = x
    nx + 1 .
    3.设f( x) =
    1 - x2 , - ∞ < x ≤ 0 ,
    - 2x , 0 < x < + ∞ , 求f( - 1) , f(0) , f(1) , f[ f( - 1)] , f[ f(0)] , f[ f(1)] .
    解 f( - 1) = 0 , f(0) = 1 , f(1) = - 2 , f[ f( - 1)] = 1 , f[ f(0)] = - 2 , f[ f(1)] = - 3 .
    4.求下列函数的反函数及其定义域:
    (1) y = 1 - x2 (0 ≤ x ≤ 1) ; (2) y = 2sin3 x x ∈ - π
    6 ,π
    6 ;
    (3) y = 2x
    2x + 1 ; (4) y = aln( bx - c) ;
    (5) y = ax + b
    cx + d ( ad - bc ≠ 0) .
    解 (1) y = 1 - x2 (0 ≤ x ≤ 1) . (2) y = 1
    3 arcsin x
    2 ( - 2 ≤ x ≤ 2) .
    (3) y = log2 x
    1 - x (0 < x < 1) . (4) y = 1
    b (c + ex
    a ) ( - ∞ < x < + ∞ ) .
    (5) y = b - dx
    cx - a x ≠ a
    c .
    5.求下列各题中所给函数构成的复合函数,再指出其定义域:
    (1) y = eu , u = sinx ; (2) y = u - 1 , u = lgx ;
    (3) y = u2 , u = cosv , v = x - 1
    x2 - 5 x + 6 ; (4) y = au , u = arctanv , v = 3 w , w = t2 - 1 ;
    (5) y = arcsinu , u = 1 + ex
    解 (1) y = esinx ( - ∞ < x < + ∞ ) .
    (2) y = lgx - 1 (10 ≤ x < + ∞ ) .
    (3) y = cos2 x - 1
    x2 - 5 x + 6 ( - ∞ < x < 2) ∪ (2 < x < 3) ∪ (3 < x < + ∞ ) .
    (4) y = aarctan 3 x2 - 1 ( - ∞ < x < + ∞ ) .
    (5) 由于无论x 取什么值, u = 1 + ex > 1 ,此时u 值对y = arcsinu 没有意义.因此, y = arcsinu 与u =
    1 + ex 不能复合成复合函数.
    6.设f( x) =
    0 , x ≤ 0 ,
    x , x > 0 ,
    g( x) =
    0 , x ≤ 0 ,
    - x2 , x > 0 ,求f[ g( x)] ,g[ f( x)] ,f[ f( x)] ,g[ g( x)] .
    解 f[ g( x)] = 0 , g[ f( x)] = g( x) , f[ f( x)] = f( x) , g[ g( x)] = 0 .
    7.下列函数中,哪些是复合函数? 如是,它们是怎样合成的?
    (1) y = arccos(5 + x3 ) ; (2) y = x3 ? 3x ;
    (3) y = cos3 x2 + 1
    2 ; (4) y = lg x - 1
    x + 1 ;
    (5) y = x
    3 1 - x2 + 12
    arcsinx ; (6) y = lnsin 3 x2 + π
    4 .
    解 (1) 是. y = arccosu , u = 5 + x3 .
    (3) 是. y = u3 , u = cosv , v = x2 + 1
    2 .
    (4) 是. y = lgu , u = v , v = x - 1
    x + 1 .
    (6) 是. y = lnu , u = sinv , v = w , w = 3 x2 + π
    4 .
    (2) 、(5)题的函数不是复合函数。
    倡8.根据极限定义证明(打“ 倡”的是可选题,以下各章同)
    (1) nli→m∞
    3 n + 1
    2 n + 1 = 3
    2 (用“ε-N”语言证明) ; (2) xli→m∞
    1 + x3
    2 x3 = 1
    2 (用“ε-X”语言证明) ;
    (3) lxi→m2
    (5 x + 2) = 12 (用“ε-δ”语言证明) .
    证 (1) 对任意给定的ε> 0 ,总存在正整数N = 1
    ε .当n > N 时,
    3 n + 1
    2 n + 1 - 32
    = 1
    2(2 n + 1) < 1
    n < ε,
    nli→m∞
    3 n + 1
    2 n + 1 = 32
    .
    (2) 对任意给定的ε> 0 ,总存在正数X =
    3 1
    2ε .当x > X 时,
    1 + x3
    2 x3 - 1
    2 = 1
    2 x3 = 1
    2 x 3 < 1
    2 X3 = ε,
    xli→m∞
    1 + x3
    2 x3 = 1
    2 .
    (3) 对任意给定的ε> 0 ,总存在正数δ = ε
    5 .当0 < x - 2 < δ时,
    5 x + 2 - 12 = 5 x - 2 < 5δ = ε,
    lxi→m2
    (5 x + 2) = 12 .
    9.求下列极限:
    (1) xl→im- 1
    (3 x3 - 5 x + 2) ; (2) lim x → 2
    x2 + 1
    x4 - 3 x2 + 1 ;
    (3) lxi→m2
    x2 - 3
    x - 2 ; (4) lxi→m3
    x2 - 2 x - 3
    x - 3 ;
    (5) lxi→m9
    4 x - 3
    x - 3
    ; (6) lhi→m0
    ( x + h)3 - x3
    h ;
    (7) lxi→m0
    x + 1 - ( x + 1)
    x + 1 - 1
    ; (8) lxi→m4
    2 x + 1 - 3
    x - 2
    ;
    (9) lxi→m1
    xm - 1
    xn - 1 ( m ,n 为自然数) ; (10) nli→m∞
    2 n + 1
    n2 + n
    ;
    (11) xli→m∞
    (2 x2 + 1)2
    x2 + 3 ; (12) xli→m∞
    (2 x + 1)3 ( x - 3)2
    x5 + 4 ;
    (13) xli→m∞
    2 x2 - 6 x + 5
    x3 - 8 x2 + 1 ; (14) xl→im+ ∞ eax - 1
    eax + 1 ( a > 0) ;
    (15) nli→m∞
    1
    n2 + 2
    n2 + … + n
    n2 ; (16) nli→m∞
    ( n + 1 - n) ;
    (17) xl→im- 1
    1
    x + 1 - 3
    x3 + 1 ; (18) x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x .
    解 (1) xl→im- 1
    (3 x3 - 5 x + 2) = 3 xl→im- 1 x3 - 5 xl→im- 1 x + 2 = 4 .
    (2) lim x → 2
    x2 + 1
    x4 - 3 x2 + 1 = lim x → 2
    ( x2 + 1)
    lim x → 2
    ( x4 - 3 x2 + 1) = 3
    - 1 = - 3 .
    (3) lxi→m2
    x2 - 3
    x - 2 = ∞ 因为lxi→m2
    x - 2
    x2 - 3 = 0 .
    (4) lxi→m3
    x2 - 2 x - 3
    x - 3 = lxi→m3
    ( x - 3)( x + 1)
    x - 3 = 4 .
    (5) lxi→m9
    4 x - 3
    x - 3
    = lxi→m9
    4 x - 3
    (4 x - 3)(4 x + 3)
    = 1
    2 3
    .
    (6) lhi→m0
    ( x + h)3 - x3
    h = lhi→m0
    (3 x2 + 3 xh + h2 ) h
    h = 3 x2 .
    (7) lxi→m0
    x + 1 - ( x + 1)
    x + 1 - 1
    = lxi→m0
    x + 1(1 - x + 1)
    x + 1 - 1
    = - lxi→m0 x + 1 = - 1 .
    (8) lxi→m4
    2 x + 1 - 3
    x - 2
    = lxi→m4
    ( 2 x + 12 - 32 )( x + 2)
    ( x2 - 22 )( 2 x + 1 + 3)
    = lxi→m4
    (2 x - 8)( x + 2)
    ( x - 4)( 2 x + 1 + 3)
    = lxi→m4
    2( x + 2)
    2 x + 1 + 3
    = 4
    3 .
    (9) lxi→m1
    xm - 1
    xn - 1 = lxi→m1
    xm- 1 + xm- 2 + … + 1
    xn- 1 + xn- 2 + … + 1 = mn
    ( m ,n 为自然数) .
    (10) nli→m∞
    2 n + 1
    n2 + n
    = nli→m∞
    2 + 1
    n
    1 + 1
    n
    = 2 .
    (11) xli→m∞
    (2 x2 + 1)2
    x2 + 3 = ∞ .
    (12) xli→m∞
    (2 x + 1)3 ( x - 3)2
    x5 + 4 = 8 .
    (13) xli→m∞
    2 x2 - 6 x + 5
    x3 - 8 x2 + 1 = 0 .
    (14) xl→im+ ∞ eax - 1
    eax + 1 = xl→im+ ∞
    1 - 1
    eax
    1 + 1
    eax
    = 1 ( a > 0) .
    (15) nli→m∞
    1
    n2 + 2
    n2 + … + n
    n2 = nli→m∞
    n( n + 1)
    2 n2 = 1
    2 .
    (16) nli→m∞
    ( n + 1 - n) = nli→m∞
    1
    n + 1 + n
    = 0 .
    (17) xl→im- 1
    1
    x + 1 - 3
    x3 + 1 = xl→im- 1
    x2 - x + 1 - 3
    x3 + 1 = xl→im- 1
    ( x + 1)( x - 2)
    ( x + 1)( x2 - x + 1) = - 1 .
    (18) x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x = x l→im+ ∞ x x2 + 1 - x x2 + 1 + x
    x2 + 1 + x
    = xl→im+ ∞
    x
    x2 + 1 + x
    = xl→im+ ∞
    1
    1 + 1
    x2 + 1
    = 1
    2 .
    10.下列函数在给定条件下,哪些是无穷小? 哪些是无穷大?
    (1) 1 + 2 x2
    x ( x → 0) ; (2) sinx
    x ( x → ∞ ) ;
    (3) lgx ( x → 0+ ) ; (4) 2 x + 5 ( x → - ∞ ) ;
    (5) x + 1
    x2 - 4 ( x → 2) ; (6) 1 - cos2 t ( t → 0) .
    解 (2) ,(6)为无穷小;(1) ,(3) ,(4) ,(5)为无穷大.
    11.x2 , x2 - 1
    x3 ,e- x 何时是无穷大? 何时是无穷小?
    解 x → ∞ 时, x2 → ∞ , x2 - 1
    x3 → 0 ;
    x → + ∞ 时,e- x → 0 ;
    x → - ∞ 时,e- x → ∞ ;
    x → ± 1 时, x2 - 1
    x3 → 0 ;
    x → 0 时, x2 → 0 , x2 - 1
    x3 → ∞ .
    12.x → 1 时,下列函数中哪个是1 - x 的高阶无穷小? 哪个是1 - x 的等阶无穷小?
    (1) (1 - x) 3
    2 ; (2) 1 - x
    1 + x ; (3) 2(1 - x) .
    解 (1) 因为lxi→m1
    (1 - x) 3
    2
    1 - x = lxi→m1
    (1 - x) 1
    2 = 0 ,所以当x → 1 时,(1 - x) 3
    2 较1 - x 为高阶无穷小.
    (2) 因为lxi→m1
    1 - x
    1 + x
    1 - x = lxi→m1
    1
    1 + x = 1
    2 ,所以当x → 1 时,1 - x
    1 + x 与1 - x 是同阶无穷小.
    (3) 因为lxi→m1
    2(1 - x)
    1 - x = lxi→m1
    2
    1 + x
    = 1 ,所以当x → 1 时,2(1 - x) 与1 - x 等价,即2(1 - x) ~ (1 - x) .
    13.设有函数
    f( x) =
    ( x + a)2 - a2
    x , x < 0 ,
    x - 2 , 0 < x ≤ 1 ,
    x2 - 5 x + 4
    x2 + x - 2 , x > 1 .
    (1) 求xl→im- ∞ f( x) ,xl→im+ ∞ f( x) ; (2) a 为何值时,lxi→m0 f( x) 存在;
    (3) 求lxi→m1 f( x) .
    解 (1) x l→im- ∞ f( x) = x l→im- ∞
    ( x + a)2 - a2
    x = x l→im- ∞
    x2 + 2 ax
    x = x l→im- ∞
    ( x + 2 a) = - ∞ ,
    x l→im+ ∞ f( x) = x l→im+ ∞
    x2 - 5 x + 4
    x2 + x - 2 = 1 .
    (2) 因为
    lim x → 0 + f( x) = lim x → 0 +
    ( x - 2) = - 2 ,
    lim x → 0 - f( x) = lim x → 0 -
    ( x + a)2 - a2
    x = lim x → 0 -
    ( x + 2 a) = 2 a ,
    所以
    a = - 1 时,lxi→m0 f( x) 存在.
    (3) 因为
    lim x → 1 + f( x) = lim x → 1 +
    x2 - 5 x + 4
    x2 + x - 2 = lim x → 1 +
    ( x - 1)( x - 4)
    ( x - 1)( x + 2) = - 1 ,
    lim x → 1 - f( x) = lim x → 1 -
    ( x - 2) = - 1 ,
    所以
    lxi→m1 f( x) = - 1 .
    14.已知xli→m∞
    x2 + 1
    x + 1 - ax - b = 0 ,试确定a ,b的值.
    解 xli→m∞
    x2 + 1
    x + 1 - ax - b = xli→m∞
    (1 - a) x2 - (a + b) x - b + 1
    x + 1 .
    因为极限存在,所以1 - a = 0 ,即a = 1 ,从而
    原式= xli→m∞
    - (1 + b) x - b + 1
    x + 1 = - (1 + b) .
    由给定条件知- (1 + b) = 0 ,所以b = - 1 .
    15.求下列极限:
    (1) lxi→m0 sin3 x
    sin4 x ; (2) lxi→m0 tan3 x
    sin5 x ;
    (3) xli→m∞ xsin 1
    x ; (4) lxi→m0 xsin 1
    x ;
    (5) lxi→mπ sinx
    π - x ; (6) lhi→m0
    1 - cos2 x
    xsinx ;
    (7) nli→m∞
    2n sin a
    2n ( a ≠ 0) ; (8) lxi→m0
    x + 2sinx
    x + sinx ;
    (9) xl→im- ∞ x sin 1
    x2 ; (10) xli→m∞ 1 + k
    x
    x
    ;
    (11) lxi→m0 1 + x
    2
    x - 1
    x ; (12) lxi→m0
    (1 + 2tanx)cotx ;
    (13) lxi→m0
    (cosx) 1
    1 - cosx ; (14) xli→m∞
    x + 3
    x
    x + 2
    .
    解 (1) lxi→m0 sin3 x
    sin4 x = lxi→m0
    sin3 x
    3 x ? 3 x
    sin4 x
    4 x ? 4 x
    = 3
    4 lxi→m0
    sin3 x
    3 x
    sin4 x
    4 x
    = 3
    4 .
    (2) lxi→m0 tan3 x
    sin5 x = lxi→m0
    sin3 x
    3 x ? 3 x
    cos3 x
    sin5 x
    5 x ? 5 x
    = 3
    5 .
    (3) xli→m∞ xsin 1
    x = xli→m∞
    sin 1
    x
    1
    x
    = 1 .
    (4) 因为lxi→m0 x = 0 ,而sin 1
    x 为有界函数,即sin 1
    x ≤ 1 ,所以
    lxi→m0 xsin 1
    x = 0
    (5) lxi→mπ sinx
    π - x = lxi→mπ sin(π - x)
    π - x = 1 .
    (6) lxi→m0
    1 - cos2 x
    xsinx = 2 lxi→m0 sin2 x
    xsinx = 2 lxi→m0 sinx
    x = 2 .
    (7) nli→m∞
    2n sin a
    2n = nli→m∞
    sin a
    2n
    a
    2n
    ? a = a( a ≠ 0) .
    (8) lxi→m0
    x + 2sinx
    x + sinx = lxi→m0
    1 + 2 sinx
    x
    1 + sinx
    x
    = 3
    2 .
    (9) xl→im- ∞ x sin 1
    x2 = xl→im- ∞
    - sin 1
    x2
    1
    x2
    = - 1 .
    (10) xli→m∞
    1 + k
    x
    x
    = xli→m∞
    1 + k
    x
    x
    k k
    = ek .
    目录
    第3版编写说明
    **章 函数与极限
    第二章 导数与微分
    第三章 导数的应用
    第四章 不定积分
    第五章 定积分及其应用
    第六章 空间解析几何
    第七章 多元函数微分学
    第八章 多元函数积分学
    第九章 微分方程
    第十章 无穷级数
    医药高等数学试题及答案
    编辑推荐语
    《医药高等数学学习辅导(第3版全国高等医药院校规划教材)》(作者杨松涛、钱微微)是《医药高等数学》(第4版)的配套教材,相应地也有10章。每章包括三大部分:一、内容提要与基本要求;二、习题解答(该章习题的解答过程);三、增补习题解答(增补一些有代表性,有适当难度的习题);书的*后编入一些院校有代表性的试卷。本辅导教材有利于学生对高等数学的概念与理论的理解,有利于对运算和方法的掌握,帮助学生在学好高等数学的同时培养自己分析解决问题的能力,也有利于教师的教学工作。

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