本书是与同济大学数学教研室编写的《高等数学》(第七版)相配套的辅导教材,可供使用该教材的师生参考. 本书分为上、下册,内容编排与教材编写顺序一致. 上册包括函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用,下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数和常微分方程. 每节的内容包括教学基本要求、答疑解惑、经典例题解析和习题选解. 每章后有总习题选解和总复习. 上册书末附有常用公式和三套期末考试模拟试卷及其参考答案,下册书末附有三套期末考试模拟试卷及其参考答案和三套数学竞赛试卷.

第七章 空间解析几何与向量代数
**节 空间直角坐标系
一、教学基本要求
1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.
2. 掌握空间两点间的距离公式.
二、答疑解惑
在空间直角坐标系中,坐标面上方点的坐标有何特征?
答 过坐标面上方的点作垂直于轴的平面,与轴的交点一定在轴的正半轴上,其竖坐标大于零,故在空间直角坐标系中,在坐标面上方的点的竖坐标一定大于零.
三、经典例题解析
题型 空间直角坐标的概念
例?1 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴:,,,.
解 在坐标面上,在坐标面上,在轴上,在轴上.
例?2 求点分别关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.
解??(1)点关于坐标面的对称点为,关于坐标面的对称点为,关于坐标面的对称点为;(2)点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为,关于轴的对称点为;(3)点关于坐标原点的对称点为.
例3 求点到坐标面及轴的距离.
解 点到坐标面的距离即为点的竖坐标的**值,即点到坐标面的距离为;过点作垂直于坐标面的直线,垂足为点,过点再作垂直于轴的直线,垂足为点,于是直线垂直于轴,即线段的长度为点到轴的距离,而在直角三角形中,,于是点到轴的距离为5.
四、习题选解
1.求点分别关于下列条件对称点的坐标:(1)坐标面;(2)轴;(3)坐标原点.
解??(1)关于坐标面的对称点为;(2)关于轴的对称点为; (3)关于坐标原点的对称点为.
2.求点到坐标原点,轴及坐标面的距离.
解 到坐标原点的距离为,到轴的距离为,到坐标面的距离为.
3.在坐标面上,求与,,三点等距离的点.
解 设所求点的坐标为,因为该点到,,三点 的距离相等,所以,并且 ,解得,,所以该点的坐标为.
4. 在空间直角坐标系中,指出下列各点所在的卦限:,,,.
解???在第四卦限,在第五卦限,在第八卦限, 在第三卦限.
5.求点分别关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点.
解??(1)关于面的对称点为,关于面的对称点为,关于面的对称点为;
(2)关于轴的对称点为,关于轴的对称点为,关于轴的对称点为;
(3)关于坐标原点的对称点为.
6.试证明以,,三点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明 由空间直角坐标系中两点距离公式得三角形三条边长分别为
,,.
显然有,所以此三角形不仅是等腰的还是直角的,即为等腰直角三角形.

第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法
一、教学基本要求
1. 理解向量的概念.
2. 掌握向量的线性运算.
3. 理解向量的几何表示.
二、答疑解惑
1.任何向量都有确定的方向吗?
答 应当说,任何非零向量都有确定的方向,而零向量的方向是任意的.
2.设向量,?均为非零向量,它们满足什么条件,可以使下面的式子成立?
(1); (2); (3).
答???(1)由向量加、减法的平行四边形法则可知,在以向量,?为邻边的平行四边形中,,都表示平行四边形两条对角线的长度. 若两条对角线的长度相等,则该平行四边形应是矩形,故当,?垂直时,.
(2)根据前面的讨论可知,当时,成立.
(3)根据向量减法的三角形法则知,一般来说,,仅当时,才有.
3.向量之间可以比较大小吗?
答 不能. 向量是既有大小,又有方向的量,无所谓大小. 但是,向量的模是一个实数,所以说,两个向量可以比较它们模的大小.
4.下列式子的几何意义是什么?(1);(2),其中为实数.
答 根据多个向量相加的法则,(1)表示当三个向量依次首尾相接时,第三个向量的终点与**个向量的起点相接,所以(1)表示或是三个向量共线,或是以三个向量为边构成一个三角形.
(2)表示向量可由向量与经线性运算得到(也称能由与线性表示),因此,当与不平行时,平行于确定的平面,即共面;当与平行时,平行于.
三、经典例题解析
题型 有关向量的运算问题
例1 设,,**表示.
解 .
例2 已知非零向量和,求一个向量,使之平分向量和之间的夹角.
解 因为向量和为非零向量,所以其单位向量,存在,且,. 以,为邻边所生成的平行四边形是一个菱形,这个菱形的对角线平分对角,于是可取.
例3 在四边形中,,,,证明四边形为梯形.
分析 利用向量关系证明四边形中的一组对边互相平行,则可知四边形为梯形.
证明 在四边形中, ,所以向量∥,即四边形中的一组对边和互相平
行,于是四边形为梯形.
例4 设的边被点和三等分,已知,,求,.
解 将延长到,使得,连接,则是平行四边形. 因
此有,即. 同理可得.
四、习题选解
1.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,**向量证明它是平行四边形.
解 如图?7-1?所示,点为对角线与的交点,则,, 因为,所以且
,于是四边形是平行四边形.
2.设,,**表示.
解

第三节 向量的坐标
一、教学基本要求
1. 理解向量在坐标轴上的投影.
2. 理解向量的坐标.
3. 掌握向量的模与方向余弦的坐标表达式.
4. 掌握单位向量的坐标表达式.
二、答疑解惑
1.如何确定一个向量?
答 确定向量通常有两种方法,一是依据向量既有大小又有方向的特点,分别求出它的大小(模)和方向(方向角或方向余弦);二是求出向量的三个坐标,不妨设为,即可写出向量.
2.怎样求向量的坐标?
答 求向量的坐标,要根据已知的条件,采取不同的方法.
(1)若已知向量按基本单位向量的分解式,即,则.
(2)若已知向量的起点坐标和终点坐标,则 .
(3)若已知向量的模和方向角,则.
(4)若已知平行于,则,其中数由的模和方向确定.
(5)根据向量的运算性质确定.
三、经典例题解析
题型 有关向量的坐标问题
例1 已知向量的模为3,且其方向角为,,求向量a.
解 根据已知条件,可得向量的方向余弦为,于是
.
例2 从点沿着向量的方向取,求点的坐标.
解 设点的坐标为,则向量. 的 一个方向向量为,于是向量和向量互相平行且方向一致,可得 . 令,则
,
解得,于是,,,所以点的坐标为.
例3 求与向量平行的单位向量.
解 与向量a平行的向量有无数多个,但与平行的单位向量只有两个,它们是
,其中.
四、习题选解
1.已知,,,和,求:(1)向量在三个坐标轴上的投影及分向量;(2)的模;(3)的方向余弦;(4)与平行的两个单位向量.
解??(1),?,所以在三个坐标轴上的投影分别为,,,在三个坐标轴上的分向量分别为 ,,.
(2).
(3),,.
(4)与平行的两个单位向量为与.
2.已知,,线段交面于点,且,求的值.
解 设点,则,,又因为,可得解得.
3.一个向量的终点在点,它在轴、轴和轴上的投影依次为,和,求这个向量的起点的坐标.
解 设,则,由题意知,解得,,,于是点的坐标是.
4.设向量的模为,它与轴的夹角为,求在轴上的投影.
解 .
5.设向量的方向余弦分别满足(1);(2);(3),问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?
解??(1)此向量垂直于轴,平行于坐标面.
(2)此向量指向与轴正方向一致,垂直于坐标面.
(3)此向量平行于轴,垂直于坐标面.

第四节 数量积 向量积 混合积
一、教学基本要求
1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.
2. 掌握两个向量夹角的求法.
3. 熟练掌握两个向量互相垂直、平行的条件.
二、答疑解惑
1.设,,或,那么成立吗?
答 在数量积和向量积的运算中,这种消去律不成立. 等价于,因此只要与垂直就有,但是与垂直不一定有. 例如??,则,显然.
等价于,因此只要与共线,就有. 但是与共线不一定有. 例如,则 ,显然.
2.若向量与都是单位向量,那么也是单位向量吗?
答 不一定. 由于是个向量,只有当时,它才是单位向量,但是 ,所以当向量与都是单位向量且它们相互垂直时,才是单位向量.

3.以下等式成立吗?为什么?
(1); (2).
答 在一般情况下,以上二式都不对.
(1)的左端是与平行的向量,而右端是与平行的向量. 只有当时,(1)才成立.
(2)的左端,而右端却没有,所以只有当时,(2)才成立.
4.数量积的主要用途有哪些?
答??(1)求向量的模:.
(2)求两个向量的夹角:当时,.
(3)求一个向量在另一个向量上的投影:.
特别地,向量在直角坐标系中的坐标为:;; .
(4)向量与垂直的充分必要条件是或.
5.向量积的主要用途有哪些?
答??(1)求与两个非共线向量与同时垂直的向量,可取或.
(2)求由两个非共线向量,?所确定的平面的法向量,可取.
(3)求以向量,?为邻边的平行四边形的面积:.
(4)给定不共线的三点,求点到直线的距离:.
(5)向量与平行(即共线)的充分必要条件是或.
三、经典例题解析
题型 有关向量的数量积与向量积的运算
例?1 填空:(1)设向量,,若与垂直,则 ;若与平行,则 .(2)设,,且与垂直,则 .
解??(1)应分别填和. 因为若与垂直,则,即,从而解得;若与平行,则对应坐标成比例,即,从而解得.
(2)应填. 因为, 注意到已知向量与垂直,故
.
例2 求向量在向量上的投影.
解 向量在向量上的投影为.
例3 求向量,使得它与向量平行,且.
解 设向量的坐标为,由已知可得,又因为向量和平行,所以令,则,将它们代入到中,得到. 于是,所以向量的坐标为.
例4 已知向量,?,?两两垂直,且,,,求向量的模和它与向量的夹角.
解 ,所以. 又
,
故.
例5 已知,,,并且,计算和 的值.
解 因为,所以,又因为,所以向量与向量同向,向量与向量反向,向量也与向量反向,于是
.
进一步地,,,,因此
,
所以.
例6 若,,且和的夹角,求:(1)向量和的夹角;(2)以向量和为邻边的平行四边形的面积.
解??(1)设向量和的夹角为,则. 由题设可知
,
即?. ,即.
又因为,所以,即.
(2)所求平行四边形的面积为
.
注 平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的,在这里向量积 的模表示以向量和为邻边的平行四边形的面积.
例?7 证明:(1)若,则与共线;(2) .
证明??(1)要证两个向量共线,即证两个向量平行,亦即证. 因为
,
所以与共线.
(2)设向量和的夹角为,因为,,所以
.
例?8 已知向量,,且两个向量的夹角为. 过点作线段所在的直线的垂线,垂足为点. (1)证明的面积等于;(2)求向量和的夹角为何值时,的面积取得*大值?
解??(1)设的面积为,则 . 又因为,所以
.
(2)由,可得当或时,的面积取得*大值.
四、习题选解
1.判断题:
(1)若,则或. ( )
(2)若,则或. ( )
(3)若,则. ( )
(4)若且,则. ( )
(5)若均是单位向量,则也是单位向量. ( )
(6)若均为非零向量,并且,则相互垂直且均为单位向量. ( )
(7). ( )
(8)若均为单位向量,且,则. ( )
解??(1)×;?(2)×;?(3)×;?(4)×;?(5)×;?(6)√;?(7)×;?(8)×.
2.求向量在向量上的投影.
解 .
3.设,,求:(1)及;(2)及;(3)与夹角的余弦.
解 (1),.
(2),.
(3).
4.已知,,求的面积.
解 因为,所以
.
5.**向量证明直径所对的圆周角是直角.
证明 如图?7-2?所示,给定一个圆,是直径所对的圆周角. 因为

所以是直角.
6.设,?,?为单位向量,且满足,求.
解 由得,,,所以

所以
.
7.已知,和. 求与,同时垂直的单位 向量.
解 ,,,所求单

第七章 空间解析几何与向量代数 1 **节 空间直角坐标系 1 第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法 2 第三节 向量的坐标 4 第四节 数量积 向量积 混合积 6 第五节 曲面及其方程 11 第六节 空间曲线及其方程 14 第七节 平面及其方程 16 第八节 空间直线及其方程 19 第九节 二次曲面 26 总习题七选解 28 第七章总复习 30 第八章 多元函数微分法及其应用 34 **节 多元函数的基本概念 34 第二节 偏导数 41 第三节 全微分及其应用 46 第四节 多元复合函数的求导法则 50 第五节 隐函数的求导公式 54 第六节 微分法在几何上的应用 59 第七节 方向导数与梯度 63 第八节 多元函数的极值及其求法 68 总习题八选解 74 第八章总复习 76 第九章 重积分 83 **节 二重积分的概念与性质 83 第二节 二重积分的计算法 87 第三节 二重积分的应用 97 第四节 三重积分的概念及其计算法 102 第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 109 总习题九选解 116 第九章总复习 119 第十章 曲线积分与曲面积分 125 **节 对弧长的曲线积分 125 第二节 对坐标的曲线积分 130 第三节 格林公式及其应用 134 第四节 对面积的曲面积分 143 第五节 对坐标的曲面积分 149 第六节 高斯公式 通量与散度 155 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 163 总习题十选解 167 第十章总复习 171 第十一章 无穷级数 177 **节 常数项级数的概念和性质 177 第二节 常数项级数的审敛法 182 第三节 幂级数 191 第四节 函数展开成幂级数 201 第五节 傅里叶级数 207 第六节 正弦级数和余弦级数 215 第七节 周期为的周期函数的傅里叶级数 217 总习题十一选解 221 第十一章总复习 227 第十二章 微分方程 234 **节 微分方程的基本概念 234 第二节 可分离变量的微分方程 237 第三节 齐次方程 241 第四节 一阶线性微分方程 245 第五节 全微分方程 253 第六节 可降阶的高阶微分方程 257 第七节 高阶线性微分方程 261 第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 265 第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 267 总习题十二选解 273 第十二章总复习 276 附录C 《高等数学》(下册)期末考试模拟试卷及参考答案 281 附录D 河北科技大学数学竞赛试卷及参考答案 293