一个图形怎么才能有多于一个但又少于两个面？ 一个高度**的医药测试，有可能更容易得出错误的结论吗？ 如果只能看到销售数据的*位数字，你怎么才能知道你的会计是不是在说谎？ …… 在我们的生活中，数学无处不在，真实、有趣而美妙。当你开始用数学的眼光去观察世界，生活或许会变得更加简单而确定，你准备好了吗？ 爱德华?沙伊纳曼，“沙伊纳曼定理”的命名人，知名的数学家和教育家，会在这本书中帮我们发现和解答身边有趣的数学问题，带领我们走进那个关于数字、图形和不确定性的美丽新世界。

12. 算法
创意厨师一般不会严格遵循食谱。相反，他们利用菜谱激发他们烹饪的灵感。新手厨师更倾
向于严格按照步骤行事。
同样，具有良好方向感的司机不需要地图或书面指示来找到他们的目的地。其他人则需要详
细的路线规划引导。
电脑就像新手一样。当需要对一些数进行求和时，他���遵循一系列精心规定的步骤，按照程序执行每个操作。这些程序被称为算法。计算机算法在我们的生活中无处不在：它们把利息加入我们的银行账户中，确定文本文档中的分页位置，将DVD上的数字数据转换成电影，预测天气，搜索网页上包含给定配料清单的食谱，当我们试图找到一个模糊的地址时，通过GPS设备与我们联系。
大多数人学习的**个数学算法是加法。求25 18，我们知道先将5和8相加（我们记住的结果是13），写下3，进位为1，依此类推。
算法设计者不仅仅为解决问题提供正确的程序，该方法应该也是有效的。如果一个算法在数学上是正确的，但需要几个世纪才能完成其工作的话，就没有多大用处了。我们来看看例子。

排序
每学期结束时，我都会有一堆期末考试卷要发还给学生。当学生来到我的办公室拿作业时，我不想在乱糟糟的纸堆里翻检查找而找到他们的试卷。相反，我按照学生姓名的字母顺序排列试卷。所以，在我宣布试卷可以取走之前，需要对它们进行排序。
问题是将一些顺序混乱的文件按字母顺序把它们重新排列。怎么做*好？
让我们从一个简单而低效的想法开始吧。假设我班有一百名学生。我从未排序的纸堆取出**张试卷，看看它是否按字母顺序排列。我如何做到这一点？我将这个卷子与其他的进行比较。很有可能，这张位于未排序的纸堆顶部的试卷并不是按字母顺序排列的**张，所以我把它放在纸堆的底部，然后再试一次。我一直这样做，直到我确定出按字母顺序排列的纸张。我拿走那张纸，把它放入新的一堆，它们将按字母顺序摆放。
我回到未排序的纸堆上，现在是99张，就像以前一样，按字母顺序查找纸张。我是这样做的，拿起*上面的一张，然后与堆中的所有其他纸张比较，如果不是正确的，就把它放在*后。当我找到*靠前的字母时，将其从未排序的纸堆中取出，并将其放在已排序的纸堆的末尾。
现在未排序的纸堆上只剩下98张纸，我重复这个程序：按字母顺序搜索*靠前的纸张，然后将其移到已排序的纸堆的末端。
这需要多长时间？
*基本的步骤是比较两张卷子，并根据字母顺序决定。我们通过计算分类过程中执行的基本比较的次数来评估分类过程的效率。由于我的班级有100名学生，我需要进行多少次取出2张试卷、阅读名字和进行比较的操作，才能决定哪一个需要首先被拿出去？
在100张无序堆叠的试卷中，我将**张与其后所有的试卷进行比较：这就是99次比较。我可能不得不这样比完所有100张试卷（我正在寻找的试卷可能是*后一张）。所以要按字母顺序找到**篇试卷可能需要100×99=9900次比较。
……
因此，用这种方法进行比较的次数是99×99=9801。这比**种方法好得多，但仍然复杂。如果我可以在两秒钟内比较两张试卷并且（如果需要的话）对它们进行互换，那么按照字母顺序排列这些试卷需要花费五个多小时。这是无法容忍的。
我感到很沮丧，于是离开办公室出去散步。在大厅，我看到两个为我工作的博士后，一个邪恶的笑容浮现在我的嘴边。很快，我跑回办公室，把未分类的一堆试卷分成两半，分给他们每人各五十份。“给你们每个人一堆试卷”，我说，“请把每一堆按字母顺序排列，然后还到我的办公室。”搞定！我高兴地回到办公室。
当我的博士后对试卷进行排序后，我还有一些工作要做。我需要将他们分别整理的试卷合并到一起。那会有多困难？我将把这两摞排列好的试卷放在我的桌子上。我会查看每一摞*上面的试卷，看哪一张更靠近字母表的前面。下图说明了这个合并过程：
当其中一摞用尽后，我只要将另一摞剩下的试卷放在排好的试卷后面。在*复杂的情况下，我只做了99次对比。我可以在几分钟内做到这一点！
但是我的博士后呢？每个人有50张试卷要进行排序。他们都极其聪明，所以他们并没有自己整理，而是把各自的试卷分成两半（所以每个人未排序的试卷变为四摞，每一摞为25张），然后让四个研究生对这些试卷进行排序。当研究生完成工作后，博士后们只需要各自将两摞各25张的试卷合并成一摞。每个博士后*多进行49次对比。
然而四个研究生都不傻。他们每人把试卷分成两摞（每摞有12张和13张卷子），并找到8名高年级本科生，要求他们对小摞的试卷进行分类。研究生仍然需要将本科生返给他们的试卷进行合并，然后再将各自的25张交给博士后。
高年级本科生如何对试卷进行排序呢？你猜对了：他们把各自的试卷又分成一半（每摞6或7张），让低年级本科生进行排序。三年级学生又将每一摞试卷分成两半（每摞3或4张），并交给二年级学生。*后，二年级学生再把试卷分成两半（每个1或2张），并把它们交给一批大一新生。大一新生只能靠自己，他们直接将试卷排序——这并不困难，因为他们的试卷只有1或2张！

自序 前言：定理与证明 **部分 数 1. 质数 如果我们只能将一点点数学知识传给后代，那应该是下面这个问题的答案：究竟有多少质数？ 2. 二进制 世界上有 10 种人：懂二进制的人和不懂的人。 3.?0.999999999999… 毫无疑问，数字 1 *简单的写法是这样的：1。但你可能也会了解到这样的事实，即无限重复小数0.9999 是这一数字的另一种写法。 4. 2 在乐队开始演奏之前 , 音乐家会进行调音以确保他们所有的音符悦耳和谐。而这在数学上是不可能的。 5.?i 所有的数字都是“想象的”，因为它们是思维的发明。 6.?π π 这个数字已经让几代人着迷了。 7.?e 对数学家而言，还有比以自己名字命名的数字更高的荣誉吗？ 8.?∞ 怎么可能“超越”无限呢？什么东西可能大于无穷？！ 9.?斐波那契数列 我们从铺瓷砖问题开始。 10.?阶乘！ 你可以用多少种方法将书排列在书架上？ 11.?本福德定律 可悲的事实是，数字如同人类一样爱慕虚荣，它们都想争当**。 12.?算法 如果一个算法在数学上是正确的，但需要几个世纪才能完成其工作的话，就没有多大用处了。 第二部分 形状 13.?三角形 我们可不是通过从纸上剪下很多三角形，然后用量角器来检验它们的角度的！ 14.?毕达哥拉斯和费马 在《绿野仙踪》的结尾，稻草人并没有得到大脑，但他获得了智慧。 15.?圆 圆是优雅而美丽的。 16.?柏拉图立体 多边形是在平面里绘制的图形。如果在三维空间中绘制，会产生什么样的类似情况呢？ 17.?分形 我们需要一个不同类型的形状概念，用于描述我们所处的这个琐碎而不规则的世界。 18.?双曲几何 数学定义的高塔必须奠基于某处。对希腊人来说，这个基础是几何学。 第三部分 不确定性 19.?非传递性骰子 世界痴迷于排名。 20.?**概率 量化担忧是有困难的，在这种情况下，任何人产生忧虑都是正常的，所以让我们对这个问题稍作修改：你罹患这种罕见疾病的可能性有多大？ 21.?混沌 骰子的滚动真的是随机的吗？ 22.?社会选择与阿罗定理 民主是根据社会成员的意见做出决定的过程。它是通过让个人有机会表达他们的偏好（通过投票），然后结合这些个人喜好做出决定来实现的。 23.?纽科姆悖论 人类的行为是可以预测的吗？