本书是一本经典的数论名著, 取材于作者在牛津大学、剑桥大学等大学授课的讲义. 主要内容包括素数理论、无理数、Fermat 定理、同余式理论、连分数、用有理数逼近无理数、不定方程、二次域、算术函数、数的分划等内容. 每章章末都提供了相关的附注, 书后还附有译者编写的相关内容的*进展, 便于读者进一步学习.

第 1 章素数(1) 1 1.1 整除性 1 1.2 素数 2 1.3 算术基本定理的表述 3 1.4 素数序列 4 1.5 关于素数的几个问题 5 1.6 若干记号 6 1.7 对数函数 8 1.8 素数定理的表述 9 本章附注 10 第 2 章素数(2) 12 2.1 Euclid 第二定理的第 一个证明 12 2.2 Euclid 方法的更进一步推论 12 2.3 某种算术级数中的素数 13 2.4 Euclid 定理的第二个证明 14 2.5 Fermat 数和Mersenne 数 15 2.6 Euclid 定理的第三个证明 17 2.7 关于素数公式的进一步结果 18 2.8 关于素数的未解决的问题 19 2.9 整数模 20 2.10 算术基本定理的证明 21 2.11 基本定理的另一个证明 22 本章附注 22 第3 章Farey 数列和Minkowski定理 24 3.1 Farey 数列的定义和简单的性质 24 3.2 两个特征性质的等价性 25 3.3 定理28 和定理29 的第 一个证明 26 3.4 定理28 和定理29 的第二个证明 26 3.5 整数格点 27 3.6 基本格的某些简单性质 28 3.7 定理28 和定理29 的第三个证明 30 3.8 连续统的Farey 分割 30 3.9 Minkowski 的一个定理 32 3.10 Minkowski 定理的证明 33 3.11 定理37 ��进一步拓展 35 本章附注 37 第4 章无理数 39 4.1 概论 39 4.2 已知的无理数 40 4.3 Pythagoras 定理及其推广 40 4.4 基本定理在定理43～45 证明中的应用 42 4.5 历史杂谈 43 4.6√5 无理性的几何证明 45 4.7 更多的无理数 46 本章附注 48 第5 章同余和剩余 49 5.1 公约数和小公倍数 49 5.2 同余和剩余类 50 5.3 同余式的初等性质 51 5.4 线性同余式 52 5.5 Euler 函数 (m) 54 5.6 定理59 和定理61 对三角和的应用 56 5.7 一个一般性的原理 59 5.8 正十七边形的构造 60 本章附注 65 第6 章Fermat 定理及其推论 66 6.1 Fermat 定理 66 6.2 二项系数的某些性质 66 6.3 定理72 的第二个证明 69 6.4 定理22 的证明 69 6.5 二次剩余 70 6.6 定理79 的特例：Wilson定理 72 6.7 二次剩余和非剩余的初等性质 73 6.8 a (mod m) 的阶 75 6.9 Fermat 定理的逆定理 76 6.10 2p 1 1 能否被p2 整除 77 6.11 Gauss 引理和2 的二次特征 78 6.12 二次互倒律 81 6.13 二次互倒律的证明 83 6.14 素数的判定 84 6.15 Mersenne 数的因子, Euler 的一个定理 86 本章附注 87 第7 章同余式的一般性质 89 7.1 同余式的根 89 7.2 整多项式和恒等同余式 89 7.3 多项式(mod m) 的整除性 91 7.4 素数模同余式的根 92 7.5 一般定理的某些应用 93 7.6 Fermat 定理和Wilson 定理的Lagrange 证明 95 7.7 [ 12 (p 1)]! 的剩余 96 7.8 Wolstenholme 的一个定理 97 7.9 von Staudt 定理 99 7.10 von Staudt 定理的证明 100 本章附注 102 第8 章复合模的同余式 103 8.1 线性同余式 103 8.2 高次同余式 105 8.3 素数幂模的同余式 105 8.4 例子 107 8.5 Bauer 的恒等同余式 108 8.6 Bauer 的同余式：p = 2 的情形 110 8.7 Leudesdorf 的一个定理 111 8.8 Bauer 定理的进一步的推论 113 8.9 2p 1 和(p 1)! 关于模p2 的同余式 116 本章附注 117 第9 章用十进制小数表示数 118 9.1 与给定的数相伴的十进制小数 118 9.2 有限小数和循环小数 121 9.3 用其他进位制表示数 123 9.4 用小数定义无理数 124 9.5 整除性判别法 125 9.6 有周期的十进制小数 126 9.7 Bachet 的称重问题 127 9.8 Nim 博弈 129 9.9 缺失数字的整数 131 9.10 测度为零的集合 132 9.11 缺失数字的十进制小数 133 9.12 正规数 135 9.13 几乎所有的数都是正规数的证明 136 本章附注 139 第 10 章连分数 141 10.1 有限连分数 141 10.2 连分数的渐近分数 142 10.3 有正的商的连分数 143 10.4 简单连分数 144 10.5 用简单连分数表示不可约有理分数 145 10.6 连分数算法和Euclid 算法 147 10.7 连分数与其渐近分数的差 149 10.8 无限简单连分数 151 10.9 用无限连分数表示无理数 152 10.10 一个引理 153 10.11 等价的数 155 10.12 周期连分数 157 10.13 某些特殊的二次根式 159 10.14 Fibonacci 数列和Lucas数列 162 10.15 用渐近分数作逼近 165 本章附注 168 第 11 章用有理数逼近无理数 169 11.1 问题的表述 169 11.2 问题的推广 170 11.3 Dirichlet 的一个论证方法 171 11.4 逼近的阶 173 11.5 代数数和超越数 174 11.6 超越数的存在性 175 11.7 Liouville 定理和超越数的构造 176 11.8 对任意无理数的逼近的度量 178 11.9 有关连分数的渐近分数的另一个定理 179 11.10 具有有界商的连分数 181 11.11 有关逼近的进一步定理 184 11.12 联立逼近 185 11.13 e 的超越性 186 11.14 π 的超越性 189 本章附注 192 第 12 章k(1), k(i), k(ρ) 中的算术基本定理 194 12.1 代数数和代数整数 194 12.2 有理整数、Gauss 整数和k(ρ)中的整数 194 12.3 Euclid 算法 196 12.4 从Euclid 算法推导k(1) 中的基本定理 196 12.5 关于Euclid 算法和基本定理的历史注释 198 12.6 Gauss 整数的性质 198 12.7 k(i) 中的素元 200 12.8 k(i) 中的算术基本定理 201 12.9 k(ρ) 中的整数 204 本章附注 206 第 13 章某些Diophantus方程 207 13.1 Fermat 大定理 207 13.2 方程x2 y2 = z2 207 13.3 方程x4 y4 = z4 09 13.4 方程x3 y3 = z3 210 13.5 方程x3 y3 = 3z3 214 13.6 用有理数的三次幂之和表示有理数 215 13.7 方程x3 y3 z3 = t3 217 本章附注 220 第 14 章二次域(1) 223 14.1 代数数域 223 14.2 代数数和代数整数、本原多项式 224 14.3 一般的二次域k(√m) 225 14.4 单位和素元 226 14.5 k(√2) 中的单位 228 14.6 基本定理不成立的数域 230 14.7 复Euclid 域 231 14.8 实Euclid 域 233 14.9 实Euclid 域(续) 235 本章附注 237 第 15 章二次域(2) 239 15.1 k(i) 中的素元 239 15.2 k(i) 中的Fermat 定理 240 15.3 k(ρ) 中的素元 241 15.4 k(√2) 和k(√5) 中的素元 242 15.5 Mersenne 数M4n 3 的素性的Lucas 判别法 245 15.6 关于二次域的算术的一般性注释 247 15.7 二次域中的理想 248 15.8 其他的域 250 本章附注 252 第 16 章算术函数 (n), μ(n),d(n), σ(n), r(n) 254 16.1 函数 (n) 254 16.2 定理63 的另一个证明 255 16.3 M bius 函数 255 16.4 M bius 反演公式 257 16.5 进一步的反演公式 258 16.6 Ramanujan 和的估计 258 16.7 函数d(n) 和σk(n) 260 16.8 完全数 261 16.9 函数r(n) 262 16.10 r(n) 公式的证明 263 本章附注 265 第 17 章算术函数的生成函数 266 17.1 由Dirichlet 级数生成算术函数 266 17.2 ζ 函数 .267 17.3 ζ(s) 在s → 1 时的性状 268 17.4 Dirichlet 级数的乘法 270 17.5 某些特殊算术函数的生成函数 272 17.6 M bius 公式的解析说明 273 17.7 函数Λ(n) 276 17.8 生成函数的进一步的例子 278 17.9 r(n) 的生成函数 279 17.10 其他类型的生成函数 280 本章附注 282 第 18 章算术函数的阶 283 18.1 d(n) 的阶 283 18.2 d(n) 的平均阶 286 18.3 σ(n) 的阶 289 18.4 (n) 的阶 290 18.5 (n) 的平均阶 291 18.6 无平方因子数的个数 292 18.7 r(n) 的阶 293 本章附注 295 第 19 章分划 297 19.1 加性算术的一般问题 297 19.2 数的分划 297 19.3 p(n) 的生成函数 298 19.4 其他的生成函数 300 19.5 Euler 的两个定理 301 19.6 进一步的代数恒等式 304 19.7 F(x) 的另一个公式 304 19.8 Jacobi 的一个定理 305 19.9 Jacobi 恒等式的特例 307 19.10 定理353 的应用 309 19.11 定理358 的初等证明 310 19.12 p(n) 的同余性质 312 19.13 Rogers-Ramanujan恒等式 314 19.14 定理362 和定理363 的证明 316 19.15 Ramanujan 连分数 318 本章附注 319 第 20 章用两个或四个平方和表示数 322 20.1 Waring 问题：数g(k) 和G(k) 322 20.2 平方和 323 20.3 定理366 的第二个证明 324 20.4 定理366 的第三个和第四个证明 325 20.5 四平方定理 327 20.6 四元数 328 20.7 关于整四元数的预备定理 331 20.8 两个四元数的右公约数 332 20.9 素四元数和定理370 的证明 334 20.10 g(2) 和G(2) 的值 335 20.11 定理369 的第三个证明的引理 336 20.12 定理369 的第三个证明：表法个数 337 20.13 用多个平方和表示数 340 本章附注 341 第 21 章用立方数以及更高次幂表示数 343 21.1 四次幂 343 21.2 三次幂：G(3) 和g(3) 的存在性 344 21.3 g(3) 的界 345 21.4 更高次幂 346 21.5 g(k) 的一个下界 347 21.6 G(k) 的下界 348 21.7 受符号影响的和：数v(k) 351 21.8 v(k) 的上界 352 21.9 Prouhet-Tarry 问题：数P(k, j) 354 21.10 对特殊的k 和j 计算P(k, j) 356 21.11 Diophantus 分析的进一步的问题 358 本章附注 361 第 22 章素数(3) 368 22.1 函数 (x) 和ψ(x) 368 22.2 (x) 和ψ(x) 的阶为x 的证明 369 22.3 Bertrand 假设和一个关于素数的“公式” 371 22.4 定理7 和定理9 的证明 374 22.5 两个形式变换 375 22.6 一个重要的和 376 22.7 Σp 1 与Π(1 p 1) 378 22.8 Mertens 定理 380 22.9 定理323 和定理328 的 证明 382 22.10 n 的素因子个数 383 22.11 ω(n) 和Ω(n) 的正规阶 385 22.12 关于圆整数的一个注解 387 22.13 d(n) 的正规阶 388 22.14 Selberg 定理 388 22.15 函数R(x) 和V (ξ) 390 22.16 完成定理434、定理6 和定理8 的证明 394 22.17 定理335 的证明 396 22.18 k 个素因子的乘积 397 22.19 区间中的素数 399 22.20 关于素数对p, p 2 的分布的一个猜想 400 本章附注 402 第 23 章Kronecker 定理 405 23.1 一维的Kronecker 定理 405 23.2 一维定理的证明 406 23.3 反射光线的问题 408 23.4 一般定理的表述 410 23.5 定理的两种形式 411 23.6 一个例证 413 23.7 Lettenmeyer 给出的定理证明 413 23.8 Estermann 给出的定理证明 415 23.9 Bohr 给出的定理证明 417 23.10 一致分布 419 本章附注 421 第 24 章数的几何 422 24.1 基本定理的导引和重新表述 422 24.2 简单的应用 423 24.3 定理448 的算术证明 425 24.4 好的可能的不等式 427 24.5 关于ξ2 η2 的好可能的不等式 428 24.6 关于|ξη| 的好可能的不等式 429 24.7 关于非齐次型的一个定理 431 24.8 定理455 的算术证明 433 24.9 Tchebotaref 定理 434 24.10 Minkowski 定理(定理446)的逆定理 436 本章附注 439 第 25 章椭圆曲线 444 25.1 同余数问题 444 25.2 椭圆曲线的加法法则 445 25.3 定义椭圆曲线的其他方程 450 25.4 有限阶点 452 25.5 有理点组成的群 456 25.6 关于模p 的点群 462 25.7 椭圆曲线上的整点 463 25.8 椭圆曲线的L 级数 466 25.9 有限阶点与模曲线 469 25.10 椭圆曲线与Fermat 大定理 472 本章附注 474 附录 479 参考书目 482 特殊符号和术语索引 486 常见人名对照表 489 《哈代数论(第6 版)》补遗 491