本书通过介绍斐波那契数、三角数、完全数、阿姆斯特朗数、循环数、回文数等**的数字，以及杨辉三角、拿破仑三角形等概念的推导过程，让只有初高中数学知识基础的学**现数字和图形的趣味。另外，本书还给出了很多有趣的数学小知识，看似奇妙，其实如果用数学思维就会发现里面的玄机。本书可以帮助不会将问题转化成数学思维的人学会数学思维方法，学会数学语言，让恐惧数学的人爱上数学。 趣味无穷的数字 斐波那契数 三角数 完全数 阿姆斯特朗数 循环数 回文数 …… 趣味无穷的图形 杨辉三角 拿破仑三角形 莫利三角形 西姆松线 费尔巴哈圆 对偶命题 ….

数字在我们的生活中扮演着非常重要的角色，借助数字我们能够计数和排序。然而，数字除了具有实用价值外，数字本身就足够有趣。数字中可能包含稀奇罕见的属���，可能会展现某些不为人知的美丽，或者光是它们的固有属性就足以让我们惊叹。在本章中，我们将探寻数字当中一些**吸引力的特性，希望能带给你许多非比寻常的惊喜。 数千年来，数字有过很多种写法。比方说，埃及人用象形符号来表示数字，而罗马人采用的记数系统则沿用至今，常用于书写章节编号或奠基日期。但是事实证明，这些数字写法过于烦琐复杂，写起来很不方便。比萨的列奥纳多（约１１７５—１２４０）———他的另一个更广为人知的名字是斐波那契———在１２０２年出版了不朽的经典著作《计算之书》，他在书中**章的开篇就介绍了“阿拉伯数字” ９，８，７，６，５，４，３，２，１和０，这是西方文明**次接触并使用这些数字。往后我们将深入探讨数字的属性，在此说明一下，我们讨论的均是标准十进制计数法。 在本章中，我们将介绍许多优美的数字排列、数字属性和数字关系，分享有趣的数字分析过程。书中偶尔会展示某些模式，但因为求证过多会使行文不流畅，所以我们省略了推理过程，只提供结果。但是，如上所述，我们希望你能意识到，在数字关系中，不是所有“显而易见的模式”都适用于任何情况。举个例子，以下这个数字模式似乎能推导出一般规律，但其实不然。 一起来思考下这位法国数学家的问题———阿尔方·德·波林那克（１８１７—１８９０）猜想： 任何一个大于１的奇数都可以表示为２的幂与一个质数之和。 如果我们只观察以下*开头的一些等式，会发现这似乎是一个真命题。然而，从图１.１中的列表中可以看出，该猜想并非总是正确：对３至１２５以内的奇数，命题成立；对１２７这个奇数，命题不成立；对从１２９开始的奇数，命题重新成立。 也许你会发现紧接着这些数列的下一个数字就不符合波林那克猜想 了。但是请记住，对于本书中展示的其他数字模式，我们可以保证它们在所 有情况下都成立。 １８４９年，阿尔方·德·波林那克提出了另一种猜想，至今该猜想仍未被 证实或证伪。猜想是这样描述的： 存在无限多对相差为偶数 ｎ的连续质数。 例如，我们假设 ｎ＝２。存在多对相差为 ２的连续质数，如（３，５），（１１， １３），（１７，１９）等。请注意，上述猜想尚未被证明是否成立。 其他**有各自的运算方法 减法 对于我们在小学学到的运算方法，我们不仅习以为常，还常会认为加减 乘除就只能这么算。显然，事实并非如此。在全世界范围内还有许多种不 同的运算方法，或者说计算技巧。我们在下文展示了其中一些，让你感受下 方法之间的差异。 在美国和其他**，“借位”是减法计算中的常用方法。在 ２０世纪以前，很多**里都没有应用这种方法。德国使用的是“展开－加法”。我们在 图 ２-１１和图 ２-１２中对比了这两种减法方法。 乘法 有些**和美国一样，计算乘积时因数（被乘数和乘数）是上下排列着 写的（见图 ２-１３）。但在其他**，因数是并排着写的（见图 ２-１４）。在有些 **，部分乘积是从右往左写的，但其他**则相反。 **个整数（被乘数 ５３６）会被第二个整数（乘数 ８７）的各数位上的数字 分别相乘，从被乘数的*右位（５３６中的 ６）和乘数的*左位（８７中的 ８）相乘 开始，此过程中忽略数位上的 ０［１］。 计算乘数中的每个数位上的数字与被乘数的乘积时，你都需要另起一 行。将部分乘积依次向下叠加排列，*后将各个乘积相加。部分乘积需写 在乘数的对应数位之下。 亚洲 亚洲通用的乘法运算中不存在“进位”的问题。被乘数和乘数的每个数 位都会单独计算乘积，每个乘积会写在恰当的位置。如果位置上刚好被其 他乘积占位了，需要将乘积写在新的一行。 我们展示了其他运算方法，你能看到，你使用起来*顺心的方法，可能 对在另一个**长大的人来说是完全陌生的。

**章神奇的数字…………………………………………………………１ 神奇的零和………………………………………………………………３ 一个*不可思议的数字…………………………………………………４ 回文数……………………………………………………………………８ 数字的整除规律………………………………………………………１１ 数字及它们的数位……………………………………………………１８ 更多罕见而有趣的数字关系…………………………………………２４ 更多非比寻常的数字关系……………………………………………２７ 一种特殊的情况………………………………………………………２８ 亲和数…………………………………………………………………２９ 其他类型的“亲和”数…………………………………………………３４ 另一种非同寻常的数字关系…………………………………………３５ 完全数…………………………………………………………………３６ 三角数…………………………………………………………………３８ 以原数字结尾的平方数………………………………………………４９ 数字命理学……………………………………………………………５０ 第二章奇趣运算…………………………………………………………５２ 计算天才………………………………………………………………５２ 数位之和………………………………………………………………５５ 你能够数到多远？……………………………………………………５６ 无须相加，即可判断哪个和更大………………………………………５６ 你能定位数字吗？……………………………………………………５８ 你*喜欢的数字………………………………………………………５９ 一个小巧的计算方案…………………………………………………６０ ７７７数字把戏……………………………………………………………６１ 间接推算………………………………………………………………６２ 互联网上常见的数字把戏……………………………………………６３ 与数字９相关的数字把戏……………………………………………６４ 一些乘法小窍门………………………………………………………６５ 一些心算窍门…………………………………………………………６７ 速算与１０的幂的因数的乘积…………………………………………６７ 心算个位数为５的数字的平方………………………………………６８ 更为通用的心算乘法方法……………………………………………７１ 心算更有挑战，但非常有用！…………………………………………７２ 来一场加法速算竞赛！向你的朋友发起挑战吧！…………………７３ ６个数字的加法把戏……………………………………………………７５ 基于斐波那契属性的数字把戏………………………………………７７ 其他**有各自的运算方法…………………………………………７９ 俄罗斯农民的乘法运算………………………………………………８３ 纳皮尔筹………………………………………………………………８４ 通过发现模式来做运算………………………………………………８６ 字母算术………………………………………………………………８８ 第三章数字循环…………………………………………………………９７ ８９循环…………………………………………………………………９７ 可视化图表：各数位的平方和数列…………………………………１００ 更多数字循环…………………………………………………………１０６ 还有另外一个（**的）循环…………………………………………１１１ 一些卡普雷卡尔常数的变体…………………………………………１１３ 乌拉姆-考拉兹循环……………………………………………………１１４ 循环数循环……………………………………………………………１３２ 创造半循环……………………………………………………………１３７ １０８９循环………………………………………………………………１３９ ９９循环…………………………………………………………………１４４ 阶乘循环………………………………………………………………１５４ 第四章几何奥秘…………………………………………………………１５７ 视错觉…………………………………………………………………１５７ 批判地看待几何学……………………………………………………１６０ 三角形中线的一些性质………………………………………………１６３ 四边形的一些性质……………………………………………………１６５ **……………………………………………………………………１６８ 几何不变量……………………………………………………………１７３ 拿破仑三角形…………………………………………………………１７７ 绘制在多边形边上的正方形…………………………………………１８５ 二等分角和三等分角…………………………………………………１９４ 莫利三角形……………………………………………………………１９８ 圆上的点………………………………………………………………２００ 对偶……………………………………………………………………２０３ 笛沙格发现的关系……………………………………………………２０６ 西姆松（华莱士）发现的关系…………………………………………２０７ 一个几何惊喜…………………………………………………………２０９ 第五章数学小知识：奇妙却真实………………………………………２１１ 生日匹配………………………………………………………………２１１ 预测硬币的正反面……………………………………………………２１５ 几何学中的概率………………………………………………………２１６ 拼出正方形……………………………………………………………２１８ 无用的增长……………………………………………………………２１９ 源自电视节目“我们来做个交易”的蒙提霍尔问题…………………２２０ 锻炼概率思维…………………………………………………………２２４ 样本空间简介…………………………………………………………２２５ 使用样本空间解决棘手的概率问题…………………………………２２７ 通过计数得出概率……………………………………………………２２８ 合理的计数……………………………………………………………２２９ 有序计数………………………………………………………………２３０ 有序计数如何解决令人费解的难题…………………………………２３２ 必要时，有序计数可以帮忙理出顺序………………………………２３３ 理解相对性的概念……………………………………………………２３５ 你处在世界的哪个地方？……………………………………………２３６ 你能将一张纸对折多少遍？…………………………………………２３８ ６４＝６５？怎么可能？…………………………………………………２３９ 已解和未解之谜………………………………………………………２４０ 逻辑思维………………………………………………………………２４６ 蜜蜂的旅程……………………………………………………………２４７ 了解极限………………………………………………………………２４８ 钱去哪儿了？…………………………………………………………２５０ 当“平均数”不是平均数时……………………………………………２５１ 数学悖论………………………………………………………………２５４ 一组数列能违背物理学吗？…………………………………………２５８ 一个小小的惊喜………………………………………………………２６２ 值：从过去到现在……………………………………………………２６２ 阿基米德的秘密………………………………………………………２６４ 永恒之谜拼图…………………………………………………………２６６ 致谢…………………………………………………………………………２６９ 附录…………………………………………………………………………２７０ 参考文献……………………………………………………………………２７４