本书是聚焦航空发动机振动的专著，分为上、下两册。上册为基础篇，从振动基础理论出发，以单转子系统为对象，系统地介绍转子动力学基础理论，为发动机转子支承系统减振设计提供知识。下册为专业篇，以航空发动机转子支承系统为对象，阐述高压转子和低压转子的“可容模态”设计理论和方法；建立双转子解析模型，揭示双转子系统的振动特性和参数影响规律；建立双转子系统模态动平衡理论，论述双转子系统“可容模态”优化设计方法；介绍电磁轴承和弹支干摩擦阻尼器主控技术，以激发读者对发动机振动主动控制的关注和兴趣。

第15章航空发动机高压转子的结构动力学设计方法
航空发动机的高压转子由高压压气机转子、高压涡轮转子和支承系统构成。一般情况下，将转子设计成刚性转子，而支承带有弹性，且在前支点配置弹支和挤压油膜阻尼器，例如，图15.1所示的GE90发动机就采用了这种设计方案［1］。
图15.1GE90发动机结构简图在设计高压转子时，需要确定转子的模态，但往往仅关注转子临界转速的配置，即要求一阶临界转速（平动模态）在发动机慢车以下，而二阶临界转速（俯仰模态）则有可能在工作转速范围之内。发动机每次运行，都将通过临界转速。因此，需在支承处设计挤压油膜阻尼器，以减小转子通过临界转速时的振动。挤压油膜阻尼器一般配置在高压转子的前支点处。阻尼器的阻尼效果将受到转子结构参数的影响。
转子的结构动力学设计是高压转子设计的关键。设计的目标是在发动机整个工作转速范围内��保证转子振动水平不超过限制值。设计时要解决的主要问题是［2］：
（1） 如何建立动力学模型，以便优化设计和积累设计经验；
（2） 如何设计转子结构，包括弹性支承，以达到“转速裕度”要求，即“避开共振”的要求；
（3） 如何优化转子的参数，才能更有效地发挥挤压油膜阻尼器的减振作用；
（4） 如何优化转子的模态、制定平衡工艺，以降低转子对不平衡量变化的敏感度。
为此，本章建立高压转子的动力学模型，考虑转子设计的所有参数，从理论上，建立转子两阶临界转速的上界估计方法，提出高压转子结构动力学设计的基本准则。该准则包含转子设计的所有参数，并以无量纲化的组合参数形式表达，可对高压转子的设计提供明确的指导。
15.1高压转子的动力学模型和振动模态
可将高压转子简化为如图15.2所示的模型。刚性转子支承在两个弹性支座之上。转子质量为M，极转动惯量为Ip，绕质心的转动惯量为Id，质心距前支点的距离为a，阻尼器设置在前支点处，阻尼系数为d，两个弹性支承的刚度分别为sb1和sb2，两支点间的距离为L。
设转子质心的位置为zc，长度b＝L-a，取如图15.2所示的oxyz坐标系。
在oxz平面上，转子的位移和转角如图15.3所示，可列出如下的自由振动微分方程：
（15.1）
同样，在oyz平面，如图15.4所示，根据转子位移和转角以及所受的力，写出自由振动微分方程如下：
（15.2）
引入r＝x＋jy， θ＝θx＋jθy，则式（15.1）和式（15.2）所描述的4个方程可合写成如下的2个复向量方程：
（15.3）
式中，r为转子质心位移；θ为转子绕质心的转角。
设方程的解为
（15.4）
代入方程（15.3）后，得
（15.5）
由此得到特征方程为
（15.6）
或
（15.7）
引入如下无量纲参数：为转子相对质心位置；为转子相对转动惯量；为转子当量临界转速；sb1sb2为转子支承刚度比；λ＝ωω－为转子相对临界转速，特征方程则变为
（15.8）
由此式可解得转子的临界转速。
转子的振型为
（15.9）
图15.5表示转子的两阶振型。
由式（15.8）和式（15.9）可见，转子的模态取决于和这5个无量纲参数。在气动设计完成后，转子质量M和长度L可能是确定的。aL为转子质心的相对轴向位置，是转子可能的*大转动惯量。由于故转子的模态还与极转动惯量和质心转动惯量之比，以及转速比相关。为前后两个支承的刚度比，定义为转子的当量临界转速。在转子设计时，恰当地选取这些设计参数，就可满足特定的结构动力学设计要求。
选定上述的设计参数，就可由式（15.8）解出转子的临界转速。图15.6为；时，转子的临界转速与转子工作转速之间的关系。图中转子转速为相对转速。
由图15.6可见，任何情况下，**阶临界转速，且随转速增大趋近于。随着增大，转子的陀螺力矩对第二阶临界转速的影响增大。当时，转速频率激振力不会激起第二阶临界转速共振。时，转子越过一阶临界转速之后，转速增加，第二阶自振频率也增加，转速可能会始终处在第二阶自振频率的邻域，但始终无法越过第二阶自振频率，转子的振动会居高不下，这就是本书第6章所分析的转子动力学“临界跟随”现象。如第6章所述，高压压气机为多盘集中的转子，出现“临界跟随”现象的可能性较大。出现临界跟随现象之后，转子响应对不平衡力矩特别敏感。而高压压气机一般都存在不平衡力矩。因此，在高压转子设计时，应避免出现的情况。
值得注意的是，由于陀螺力矩对第二阶临界转速的影响较大，故第二阶振型会随转速发生变化。图15.7分别表示转速为0和转速为协调正进动临界转速时的

目录 丛书序 前言 第15章航空发动机高压转子的结构动力学设计方法 15.1高压转子的动力学模型和振动模态002 15.2转子两阶临界转速的上界估计方法007 15.3高压转子的抗振设计014 15.3.1转子的不平衡响应014 15.3.2协调正进动参数临界转速020 15.3.3反进动激振力作用下转子的振动022 15.3.4反进动参数临界转速025 15.4高压转子动力学设计实例027 15.4.1高压转子动力学模型027 15.4.2高压转子的两阶模态029 15.4.3高压转子支承刚度配比031 15.4.4高压转子动平衡相位匹配准则032 15.4.5高压转子参数临界转速033 15.5弹性支承刚度的计算与测试035 15.5.1弹性支承刚度的计算036 15.5.2弹性支承刚度的测试038 本章小结040 参考文献041 第16章航空发动机低压转子的“可容模态”和减振设计 16.1简单柔性转子的“可容模态”设计044 16.1.1转子的动力学模型与振动特性044 16.1.2转子**阶模态为“可容模态”047 16.1.3第二阶模态为“可容模态”049 16.2一般柔性转子的“可容模态”设计055 16.2.1转子模型与运动微分方程055 16.2.2转子的振动模态059 16.2.3转子的不平衡响应060 16.2.4支承**刚性时转子的模态062 16.2.5转子临界峰值的模态表达064 16.2.6转子“可容模态”设计的准则068 16.3单转子系统的动力学“临界跟随”现象068 16.3.1转子的动力学模型和运动微分方程069 16.3.2转子的“临界跟随”现象和判定条件069 16.3.3“临界跟随”状态下转子的振动响应071 16.4低压转子系统“可容模态”优化设计077 16.4.1低压转子系统的“可容模态”设计示例077 16.4.2“可容模态”优化设计参数083 16.4.3“可容模态”优化约束条件084 16.4.4转子“可容模态”可容度函数与优化目标085 16.4.5转子“可容模态”优化设计示例089 16.4.6单转子“可容模态”优化设计原则和流程092 16.5低压转子“可容模态”优化设计实例与验证094 16.5.1低压转子实验器设计目标094 16.5.2转子实验器初始模型095 16.5.3转子实验器“可容模态”优化设计097 16.5.4低压转子实验器“可容模态”优化设计验证099 16.5.5转子系统的挤压油膜阻尼器设计101 16.5.6低压转子系统“可容模态”的“可容性”实验验证104 本章小结106 参考文献106 第17章航空发动机双转子系统的振动 17.1简支对称双转子模型和运动方程109 17.2双转子的不平衡响应111 17.3双转子的拍振115 17.4带弹支和阻尼器的双转子振动117 17.4.1转子的高压不平衡响应118 17.4.2转子的低压不平衡响应120 17.5刚性转子120 17.6柔性转子121 17.7考虑中介轴承均匀刚度时刚支转子的振动124 17.7.1临界转速和不平衡响应124 17.7.2“动力吸振”127 17.8考虑中介轴承均匀刚度时带阻尼弹支双转子的振动130 17.8.1双转子模型与振动微分方程130 17.8.2高压转子不平衡激励下的响应和对高压转子的动力吸振130 17.8.3低压转子不平衡激励下的响应和对低压转子的动力吸振136 17.8.4高压转子不平衡激励下的临界峰值138 17.8.5低压转子不平衡激励下的临界峰值144 17.9考虑中介轴承刚度各向异性时双转子的振动特性147 17.9.1双转子模型与振动微分方程147 17.9.2高压盘不平衡激励下转子的响应148 17.9.3低压盘不平衡激励下转子的响应151 17.9.4重力响应161 17.10带中介轴承的对转双转子的振动特性167 17.10.1中介轴承内环支承座刚度各向异性168 17.10.2中介轴承外环支承刚度各向异性168 17.11中介轴承存在静态偏心时对转双转子的振动170 17.11.1转子模型和运动微分方程170 17.11.2中介轴承静态偏心引起的振动172 17.11.3静态偏心与低压转子不平衡的共同作用176 本章小结177 参考文献178 第18章发动机双转子系统模态动平衡理论与方法 18.1双转子系统模态的正交性181 18.1.1双转子系统稳态运动微分方程与模态181 18.1.2双转子系统刚度矩阵的复共轭对称性182 18.1.3双转子系统模态的正交性185 18.1.4双转子系统模态正交性验证194 18.2双转子系统的不平衡响应203 18.2.1低压转子单独存在质量不平衡203 18.2.2高压转子单独存在质量不平衡206 18.2.3双转子系统不平衡响应的统一表达式207 18.3双转子系统模态动平衡方法208 18.3.1双转子模态平衡的N1＋N2平面法208 18.3.2初始不平衡量的确定210 18.3.3正交校正质量组的确定213 18.3.4向后正交平衡法214 18.3.5全正交平衡法219 18.3.6双转子模态平衡的N1＋N2＋4平面法220 18.3.7全正交平衡法的平衡过程与步骤222 18.3.8转速比对双转子模态动平衡的影响223 本章小结232 参考文献233 第19章双转子系统“临界跟随”特征和参数影响规律 19.1双转子系统动力学模型235 19.2双转子系统运动微分方程236 19.3双转子系统表现动力学“临界跟随”特征时的参数关系240 19.4双转子在动力学“临界跟随”状态下的动力学特性242 19.4.1同转双转子在动力学“临界跟随”状态下的动力学特性244 19.4.2对转双转子在动力学“临界跟随”状态下的动力学特性259 19.5“临界跟随”状态下双转子动力学特性计算结果总结273 19.5.1同转的双转子系统273 19.5.2对转的双转子系统274 参考文献274 第20章航空发动机双转子系统动力学设计 20.1双转子动力学优化设计要求和流程276 20.2双转子动力学优化设计模型和参数278 20.3转子系统不平衡响应关于设计参数的灵敏度分析279 20.3.1轮盘元素281 20.3.2轴元素282 20.3.3轴承元素288 20.4临界转速裕度准则下双转子的动力学优化设计291 20.4.1设计参数292 20.4.2约束条件292 20.4.3优化设计的目标函数295 20.4.4优化算法和流程295 20.4.5优化设计的结果与分析295 20.5双转子系统的“可容模态”优化设计298 20.5.1优化设计参数的选取299 20.5.2优化过程中的约束条件299 20.5.3“可容模态”优化设计的目标函数301 20.5.4双转子系统“可容模态”优化设计方法306 20.6双转子系统“可容模态”优化设计实例与实验验证308 20.6.1实验器初始模型308 20.6.2实验器初始模型模态的“可容度”评价311 20.6.3双转子系统优化设计参数的灵敏度分析313 20.6.4优化设计参数及其取值范围325 20.6.5双转子系统“可容模态”优化设计流程与结果326 20.6.6双转子实验器优化结果与检验327 20.6.7双转子实验器的挤压油膜阻尼器设计334 20.6.8双转子实验器结构设计348 20.7双转子系统“可容模态”优化设计方法的实验验证355 20.7.1双转子实验器和振动测试系统355 20.7.2双转子系统“可容模态”设计方法验证实验358 本章小结373 参考文献374 附录A：双转子实验器相似化参数模型375 附录B：双转子实验器优化参数模型378 第21章电磁轴承及带电磁轴承转子的振动 21.1概述383 21.2主控式磁悬浮轴承的结构384 21.3PD反馈控制下电磁轴承控制器及转子系统的运动方程387 21.4PD控制下转子运动方程的解388 21.5PID控制下转子系统的振动特性390 21.6电磁轴承的控制目标和设计方案392 21.6.1减小不平衡响应392 21.6.2改善转子系统的稳定性393 21.7转子偏摆的影响394 21.8带磁力轴承的柔性转子395 21.8.1辅助支承395 21.8.2磁力轴承支承的柔性转子396 21.8.3固有特性396 21.8.4转子的不平衡响应398 本章小结399 参考文献400 第22章弹支干摩擦阻尼器 22.1弹支干摩擦阻尼器的基本结构与减振原理401 22.2弹支干摩擦阻尼器的摩擦模型和分析方法402 22.2.1干摩擦模型402 22.2.2干摩擦机制的简化420 22.3带弹支干摩擦阻尼器转子的振动特性421 22.3.1带有弹支干摩擦阻尼器转子系统的力学模型421 22.3.2带弹支干摩擦阻尼器单自由度振系模型422 22.3.3振系振动响应分析423 22.3.4振系振动响应的数值仿真与分析424 22.3.5干摩擦力对转子振动幅频特性的影响425 22.3.6带有弹支干摩擦阻尼器转子的稳定性426 22.3.7带弹支干摩擦阻尼器单盘转子的振动429 22.4几种弹支干摩擦阻尼器结构形式和特点434 22.4.1弹簧式弹支干摩擦阻尼器435 22.4.2电磁式主控弹支干摩擦阻尼器435 22.4.3压电式主控弹支干摩擦阻尼器436 22.4.4压电式主控折返弹支干摩擦阻尼器437 22.4.5压电式主控弹片弹支干摩擦阻尼器437 22.5主控式弹支干摩擦阻尼器的控制策略和控制方法440 22.5.1弹支干摩擦阻尼器主动控制转子振动的策略440 22.5.2主控式弹支干摩擦阻尼器的控制方法441 22.5.3主控式弹支干摩擦阻尼器控制转子振动的实验445 本章小结449 参考文献450