本书前三章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细研究了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容，此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度、体积的极小性，在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace，Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论，进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理，作为比较定理的应用，我们有**的拓扑球面定理，这些内容视作近代微分几何**的专业基础知识，在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点），坐标观点（古典观点）和活动标架法，无疑，对阅读文献和增强研究能力会起很大作用，书中第4、第5章是我们25年中关于特征值的估计，等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，它将引导读者如何去阅读文献，如何去作研究，如何作出高水平的成果。
本书可作理科大学数学系几何拓扑方向硕士生、博士生的教科书，也可作相关数学研究人员的参考书。

总序
序言
第1章 Levi-CIvita联络和Riemann截曲率
第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题
第3章 Riemann几何中的比较定理
第4章 特征值 的估计和等谱问题的研究
第5章 曲率和拓扑不变量