你真的知道数学是什么吗？ 你会说数学语言吗？ 1的后面为什么总是跟着一个想要把它抓住的0？ π的背后是财富还是深渊？ 黄金数因何被抬上神坛？ 诺里斯不会说谎，错的**是真相？ 质数连小学生都能理解，却成了数学家的**难题？ 你是欧几里得几何的信奉者，但你自己却不知道？ …… 从水龙头滴水到古希腊定理，从繁复的方程式到晦涩的符号，从别人口中的故事到大师“现身说法”……摒弃先入为主的想法，以全新的视角审视它们，你会发现它们在我们的日常生活中无处不在，并且以常见和意外的形式出现。 本书用15章拆解数学的秘密，专家校对，必要脚注，图文结合。令你与高斯、欧几里得、柏拉图、莱布尼茨等数学大咖亲密接触，带你进入烧脑、有趣、不枯燥的数学世界！ 数学出人意料，又无处不在！

数学天堂：柏拉图理想主义
**个尝试解答这个问题的仍是古希腊人，但他们给出的答案并不是不可推翻的**答案，因为我们已经走出了纯粹的数学世界。在数学世界中，只要证明或定理阐述合理，就一定会被普遍接受。
我们现在所涉及的领域被称为“数学哲学”——即使称其为“关于数学的哲学”会更为准确。数学哲学试图把数学的方方面面整合在一起并将其当作一个整体来解释，因而是数学之外的领域。然而，这个答案仍然举足轻重，因为它**次对数学对象、数学实体及数学真理的来源与性质做出了回答。正是通过这一回答，我们得以确定立场，选择拒绝、反驳这一理论，或对其进行进一步的确认或延伸。简而言之，在数学领域，我们仍然生活在柏拉图（Plato，前427—前347）的世界里！
柏拉图无疑是古希腊zui重要的两位哲学家之一——另一位是他的弟子亚里士多德（Aristotle，前384—前322）——事实上，正是柏拉图确定了在他之后的几个世纪里一直占有主导地位的数学理念，并且这一理念至今仍被许多研究这一问题的现代思想家所认同。
柏拉图的学说是纯思辨的、形而上学[ 形而上学（Metaphysics），是指研究存在和事物本质的学问。形而上学是哲学研究中的一个范畴，被视为“**哲学”和“哲学的基本问题”。它是人类理性对于事物zui普遍的面相和**原因的探索的一门学科。]的，受当时的宗教与哲学精神的影响。虽然这种学说在哲学层面上存在争议，但它却是在一种相当清晰的理念之上建立的，而且这个理念还与数学的本质有关。虽然这位哲学家对数学史本身的贡献可以说是微不足道，但他知道自己所言为何。
“不懂几何者不得入内”：柏拉图与数学 柏拉图将数学奉为**真理，而且是**的**真理。他在雅典创办了一所学院，并让人在学院的三角楣上刻下“不懂几何者不得入内”。在古希腊，几何学是所有数学学科的皇后和典范。但柏拉图本人是一名伟大的数学家吗？不论答案肯定与否，总之，他没有在作品中留下令人印象深刻的定理或证明，尽管其作品具有重要的地位。有一类多面体被称为“柏拉图立体”，它们的所有面和角都相等，是世上仅有的 5 种正多面体，即正四面体（有 4 个面，形如金字塔，但底面不是正方形而是与其他三个面大小相等的三角形）、正六面体（有6 个面，就是一个立方体）、正八面体（有 8 个面，看起来像是正方形底面相接的两个金字塔）、正十二面体（有 12 个五边形的面）和正二十面体（有 20 个三角形的面）。人们错误地认为柏拉图是“柏拉图立体之父”，但这些立体并不是由柏拉图发现或定义的：至少在他那个时代的 1000 年前，它们就已经为人所知了。不过，指出“柏拉图立体”就是所有的对称或规则多面体，不存在也不可能存在其他正多面体的却是与柏拉图生活在同一时代的泰阿泰德（Théétète），这个名字也被柏拉图用来命名一篇关于科学的对话录。而关于“柏拉图立体”，柏拉图只是在另一篇对话录《蒂迈欧篇》中传播了泰阿泰德的发现。在这篇对话录中，他将泰阿泰德描述的五种立体图形与四元素相联系，还把zui后一种（正二十面体）同整个宇宙联系起来。由此看来，与其说柏拉图是数学家，倒更像是科学诞生之前的形而上学家。
相反，柏拉图的学生，尼多斯的欧多克索斯（Eudoxus，约前400—约前 347）却在整个古代数学史上占有重要的地位。欧多克索斯与亚里士多德是同一时代的人，其主要成就是建立了所谓的“穷竭法”。
穷竭法可以使某些面积的计算以及与之相关的数值结果达到一种令人满意的近似。比如，计算圆面积的方法为：在圆的内部构造内接多边形，外部构造外切多边形，以从两侧向圆逼近。然后，再逐渐增加两个多边形的边数，使其越来越接近圆弧，直到与后者相合。如此一来，圆的面积便介于两个多边形（内接及外切）的面积之间，而多边形面积的求法又是已知的。20 多个世纪后，人们将利用这种方法来建立微积分学的模型。
柏拉图提出的数学观与其被称为“二元论”的形而上学密不可分。依照他的观点，我们肉体所在并能通过感官感知的世界是“可感世界”，它并非**存在的世界，也不是zui好的世界，zui好的世界是与之相对的“可知世界”或“相世界”，是需要通过我们的精神或理智才能认识的世界。
不过，这种认识也并非直接的认识。哲学家之所以能够思考可知世界的永恒真理，仅仅是因为他在前世就已经这么做了。因为，同印度教教徒一样，柏拉图相信灵魂转世或者轮回转生，也就是在“前世”死后，灵魂会转移到另一副肉体之中。一个人若一生品行端正，那么转世为人时，其地位定会得到提升，而人类生命的zui高形式便是追求智慧与知识的哲学家。 与其跑，不如动身早：无穷悖论
无穷的概念不仅难以理解，而且还很难回避！因为按理说，它是从那些zui基础的运算活动中产生的，比如计数。当一个孩子开始学习数数时，他很快就会提问道：“数字什么时候结束？”而后，一系列的哲学难题（同时也是家长和老师所要面临的教育挑战）往往就会接踵而至。面对这个问题，大人们通常只能回答：“永远不会结束！”而这个回答是那么简单、费解，又令人难以接受！
听到这个答案，未来的小数学家们心中五味杂陈，他们既怀疑又惊奇，有时还会产生一种隐隐约约的焦虑。如果对这个问题思考得足够深入的话，任何一个已经成年的人都不会对这种感觉感到太过陌生。那数学家是如何认为的呢？在很长一段时间里，数学家都对无穷抱有一种近乎偏执的反感，不过，他们反对的理由往往与“外行人”的理由不同。
在深入了解之前，让我们先明确一下，在这里，我们将集中讨论的是数学上的无穷，因为“无穷”这个概念也会出现在哲学、宗教或物理学领域，其含义也有所不同。但在本书中，我们只会对其他这些“无穷”与数学“无穷”之间的关系稍作讨论。
无穷的概念起源于计数，因为人类可能永远无法将数数完。当这个概念**次出现在古希腊数学家面前时，他们并没有理由平白无故地感到恐慌。本来，柏拉图主义的追随者可以将无穷看作可知世界——物质世界只是它不**的复制品——的一种属性，而“原子论者”也没有理由对数学上的无穷感到不满，因为他们原本就相信有无数个宇宙存在，而这也是其思想体系中的核心内容。现实的也好，想象的也罢，无穷本来可以在数学的世界里拥有一席之地，只可惜它太爱挑拨离间，让人恼火不已。人类难以通过其有限的智力想象无穷、理解无穷，难题由此产生。不仅如此，无穷在逻辑及算术之厦中的引入催生了数学家zui大的敌人——悖论，而数学家们似乎也无法**自己想要将其扫地出门的念头。来自埃利亚（Elea）的哲学家芝诺（Zénon，约前 490—约前 430）提出了“飞矢悖论”及“阿喀琉斯与乌龟的悖论”，这两个悖论涉及无穷的概念，并对其可能会造成的困境做出说明，是同类悖论中zui为**的两个例子。
阿喀琉斯与乌龟
这两个悖论体现的是同一种思想，它们都在加法和除法两个层面上引入了无穷。因为我们将距离分成了越来越小的小段，然后再将它们一个个相加。在飞矢悖论中，箭矢若要击中箭靶，就必须先飞过箭靶与弓箭手间距离的一半，接着再飞过剩下一半距离的一半，然后是剩下还需飞过的距离的一半——也就是起始距离的四分之一，以此类推，无穷无尽。只不过这里有一个问题：如此下去，箭矢永远无法射中箭靶！因为总会剩下半段的距离需要箭矢飞过，无论这段距离有多微不足道。箭矢会无限接近箭靶，却永远无法将其击中。但是我们心知肚明，在现实世界中，事实并非如此。
难道是埃利亚学派的推理存在问题吗？从数学层面上来看，这种推理无懈可击，或者说几乎无懈可击。
阿喀琉斯与乌龟的悖论与飞矢悖论如出一辙，只不过前者还涉及一个额外的因素：目标的移动。特洛伊战争中所向披靡的英雄追逐一只可怜的乌龟，为此他必须跑过他与乌龟之间相隔距离的一半。与弓箭手的箭靶不同，乌龟在这段时间里也在前行，尽管它的速度不如阿喀琉斯快，但后者又得再次跑过两者新隔间距的一半……也就是说，阿喀琉斯追上乌龟的难度大于箭矢击中箭靶的难度，因为箭靶是静止不动的。不过，同样地，即使身着沉重的铠甲，但一个高大魁梧的年轻人无力追赶世界上行动zui迟缓的动物之一，这样的事我们却从来没有见过……这种悖论可能会使人们对数学对象与现实世界之间的关系产生怀疑。数学层面上得出的结论怎么会与现实情况如此大相径庭呢？
由此，芝诺提出了龟兔赛跑（关于追赶乌龟这件事，差别都不会太大）的问题，这个问题使整个古希腊时期的数学研究陷入困惑之中，并且这种困惑持续了很长一段时间。数个世纪之后，人们才发现这是无穷玩的鬼把戏！
问题的答案来自对级数[ 级数：在数学中，一个有穷或无穷的序列的和称为级数。如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数 ( 一般简称为级数 )。]的研究。自古希腊时期以来，人们便对级数有所研究，从中世纪末期开始，对这一课题的研究变得如火如荼。我们可以将芝诺悖论概括为一个形式非常简单的级数，即：1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/8 ＋1/16 ＋ 1/32，以此类推。
不过，当级数如此延长至无穷时，会出现两种相反的行为。当发散级数相加元素的个数趋向于无穷时，不出所料，该级数也会趋向于无穷（比如 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋…或者 1/1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋…；后者被称为“调和级数”）。然而，除了发散级数之外，还存在收敛级数，而后者的得数则更加令人震惊：当相加元素的个数趋向于无穷时，它们的和却趋向于一个有限的数！在芝诺之箭的例子——阿喀琉斯与乌龟的例子也是一样，只是由于需要考虑乌龟每一次比阿喀琉斯多走的距离，因此公式要稍微复杂一些——中，得数正好为 1，相当于箭矢需要飞过的整段距离！而解开芝诺悖论（或矛盾）的钥匙就在于：即使这个运动的过程被分成了无限步，但我们是能够在一段有限的时间内走完一段有限的距离的。而这便是数学的狡黠之美：在经过了数个世纪的思考和计算后，人们成功证明了在常识上看来显而易见的事物在数学“表达”中却会引起质疑。
你方才可能已经注意到，当我们在使用无穷的概念时，必须采用一个特殊的词汇。一个级数不能“达到”无穷，但可以说它“趋向”于无穷，并且该级数的量也会“趋向”于某一有限或无限的给定值。
另一种空间观
拓扑学是数学中zui为复杂也zui不为“外行人”所了解的分支之一——一般来说，在进入高等学校学习之前都不教授。尽管如此，拓扑学的基本原理从表面上看是很简单的。作为新近出现的一门学科，它提供了另一种看待空间与形状的视角，一种与一般几何学不同的视角。拓扑学既不关心角度或线段的测量，也不关心面积或体积的计算。它的研究方法不再是定量的，而是定性的——但这并不妨碍我们使用算术，而且还是异常艰深的算术。
举个例子，对拓扑学来说，所有多面体——由平面组成的立体——无论规则与否，都是一样的，就算是球体也不例外。除了都是三维立体外，它们还有什么共同点呢？别找了，这不是什么圈套：它们都没有洞！你说的显而易见，我亲爱的庞加莱？然而，还要再等大约一个世纪，历经堪比连载小说剧情的种种波折后，人们才得以证明拓扑学的关键定理之一。
不信你去问问某个叫作佩雷尔曼（Perelman）的人……如果你能联系到他的话！
清晨的拓扑学
在一头扎进曲折蜿蜒的拓扑学之前，让我们先回顾一下我们的晨间思考：所有“实心”立体都是相同的。同理，在拓扑学意义上，甜甜圈和带把的杯子也是等价的图形。我们称它们是“同胚的”，因为它们都只有一个洞——就马克杯而言，这个洞指的是杯子的把手，倒咖啡的杯口不是一个洞，因为它的两头是贯通的。一般来说，在拓扑学上，如果我们能通过拉伸或变形将一个图形变为另一个图形，我们就认为这两个图形是同类的，但前提是不去“打碎”或“刺破”它们。我们可以将这些经拓扑学“批准”的变换——不会改变物体的“类别”——想象成对橡皮泥（在某些“扭曲”的情况下，它必须特别柔软、特别有弹性）的塑形，而这是在橡皮泥未被拉断、切开、刺破或者粘补的情况下发生的。
现在我们就能理解，不管是金字塔还是球体，不管是多面体还是椭圆体，它们之间并没有区别，就像马克杯和甜甜圈一样，在拓扑学中，它们是一种图形的两种变体，而我们将这种图形称为“环面”。在拓扑学下，我们摆弄着橡皮泥，将看起来相差十万八千里的物体联系在一起。然而，这一怪异的几何分支，这一奇特异常的学科从何而来，又有何意义呢？
拓扑学的诞生：无法走过的“哥尼斯堡桥”
哥尼斯堡市（Ko?nigsberg）现称加里宁格勒市（Kaliningrad），它位于俄罗斯在波兰与立陶宛之间的一块飞地[ 一种特殊的地理现象，指隶属于某一行政区（或某国）管辖但不与本区毗连的土地。]之上，在第二次世界大战结束前，曾是东普鲁士的首都。
zui伟大的数学天才之一大卫·希尔伯特便出生于此。
另外，**哲学家、《纯粹理性批判》（Critique de la raison pure）的作者伊曼努尔·康德（Emmanuel Kant，1724—1804）也在这里度过了他的一生。
康德经常在哥尼斯堡市的大街上徜徉，就像时钟一样准时。然而，在他开始散步的几年之前，拓扑学也在此地诞生，虽然只是间接性的。
哥尼斯堡确实是一个旅游胜地：穿城而过的普列戈利亚河（Pregolia）将哥尼斯堡分成了两岸，城市**矗立着两座岛屿，河岸与岛屿通过七座桥相互连接。这样的结构给人带来了一个小小的挑战：如何在不走回头路的情况下走遍所有的桥，前提是每座桥只能经过一次，并且有必要的话，还要多次经过相同的岛屿或码头？
这个趣味性的问题演变成了一道看似无法解决的数学难题，并且一开始并没有多大意义。不过，正是这粒微不足道的种子促使了现代数学中某些zui为重大的进步。必须说的是，在当时——18 世纪初——一位来自瑞士的巨匠莱昂哈德·欧拉就已经开始致力于解决这个问题了。
莱昂哈德·欧拉：一位天才般的独眼巨人
欧拉是伯努利家族——赫尔维蒂[ 即赫尔维蒂共和国，是通过法国大革命在瑞士邦联的领域上创建的一个自治共和国。
1798 年 4 月 12 日赫尔维蒂共和国成立，1803 年 3 月 10 日解散。在瑞士历史中这段时间瑞
士被称为赫尔维蒂。]一个名副其实的数学及物理学世家——的宠儿，也是圣彼得堡科学院及柏林科学院（当时zui负盛名的两所科学院）中的杰出人物。同时，欧拉还是历史上zui多产的数学家之一，或许也是各个学科领域zui为活跃的科学家之一。如果说他的成就之多令人难以想象，那么他所做出的贡献不管是从质量、数量还是丰富程度上看都同样引人注目。作为牧师之子——同许多数学家一样，尤其是德语世界的数学家——欧拉还是一位虔诚的基督教徒，在满是不信教者的启蒙时代中孑然一身。尽管如此，他还是对启蒙运动做出了巨大的贡献！许多由欧拉发明的符号直到今天仍在使用当中——要知道，数学书写规范有着重大的意义！同时，他还为微积分计算提供了一个坚实而严密的架构，此前，莱布尼茨与牛顿已经奠定了微积分计算的基础。
欧拉职业生涯的大部分时光都是在圣彼得堡科学院及柏林科学院中度过的。在柏林科学院，欧拉不得不与腓特烈二世（Frédédric Ⅱ）的暴躁性格做斗争。腓特烈二世是普鲁士的国王，也是一位践行开明专制主义[ 开明专制主义：（英语：enlightened despotism），也称为开明**主义（英语：enlightened absolutism），或仁慈的专制主义（英语：benevolent despotism），是专制主义或**君主制的一种形式，由欧洲启蒙运动思想家所提倡。在思想上否定君权神授，认为人民应该服从君王命令或法律而并非君王本身。除普鲁士王国国王腓特烈二世外，代表人物还有神圣罗马帝国皇帝约瑟夫二世和俄罗斯帝国女皇叶卡捷琳娜二世等。]的君主，他似乎对“他的”科学家使他相形见绌的事实感到不满。在与伏尔泰（Voltaire）的通信中，这位普鲁士统治者戏称欧拉为“数学独眼巨人”，这是对他身患残疾的恶意暗示：一次眼部感染使欧拉的一只眼睛失明，那时他才 28 岁。64 岁时，也就是他去世前 12 年，欧拉彻底失明。不过，视力的丧失并未妨碍他继续工作，他的研究动力依然持续不减：凭着超人般的心算能力，他仍然通过口述完成了大量的作品。 为了解决这个被称为“哥尼斯堡桥”[ **的“七桥问题”。]的问题，欧拉使用了一种**的方法：去掉所有无用的信息，将两座岛、河的两岸以及七座桥简化成zui简单的形式。他先是将岛与河岸简化成了四个点——因为一旦我们到达了某片区域（桥或码头），接下来从哪座桥上通过就成了**的关键——再把七座桥简化成这些点之间的连线。这种将路径简化并图解化到**的方法催生了“图论”，同时也标志着拓扑学的开端（见图 10）。 1736 年，欧拉发表了一篇名为《关于位置几何问题的解法》（Solution d’un problème appartenanta la géométrie de position） 的 论 文， 他 并 不 满足于挑战“哥尼斯堡桥”问题，因为这个问题的意义本身就十分有限。他同时还提出了一个能够解决所有这类问题——比如路线优化问题——的公式，而这个公式也成为图论建立的基础。
对于任何一张与“哥尼斯堡桥”问题相类似的图，我们都将其中的点称为“节点”或“顶点”，将点之间的连线称为“边”或“线”。欧拉的结论或许会让你感到失望：他通过图论得出，梦想中的路线并不存在，在每座桥只取道一次的情况下遍历七座桥是不可能做到的。每条边都通过且仅通过一次的路径被称作“欧拉路径”；如果一条路径能满足哥尼斯堡散步者的心愿，在满足上述条件的同时还能返回起点——不好意思，应该是它的起始“节点”——那么这条路径就是“欧拉回路”。不过，欧拉指出，要想实现一条这样的路径，一张图就不能包含哪怕一个奇度数节点，也就是说，不能有一个节点与奇数条的边相连。在“哥尼斯堡桥”问题的例子中，四个顶点（两座岛与河的两岸）均与奇数座桥（也就是“边”）相连——两座岛的其中一座与五座桥相连，另一座与三座桥相连，河的两岸也分别与三座桥相连。梦想中的“哥尼斯堡桥”漫步确实是水月镜花！
但在数学领域，像这样靠证明某事不可行而取胜的情况并不少见，因为让数学家感到满足的不是说“我通通试过了，但一无所获”，而是“尽管尝试吧，这永远都不可能”！欧拉的非凡之处不在于承认自己求解“哥尼斯堡桥”问题失败，而在于他为这个问题给出了一个形式逻辑化的证明，由此开创了一门新的数学分支。还不赖吧？但对欧拉来说，这还不够，他可不是一个会半途而废的人。

**章 数学存在吗 什么是数学 数学真的是一个抽象的世界吗 超越现实的存在：复数 来自另一个世界的** 数学天堂：柏拉图理想主义 走出洞穴 ****的柏拉图学派 反柏拉图的唯物主义数学 数学与现实 但是，为什么会成功 第二章 数学的字母表：数字从何而来 数学史前史：zui初的记数系统 从“十五个二十”到“八十” 数字真的是阿拉伯的吗 俄罗斯套娃般的数 符号从何而来 字母与数字的对决 通用语言 第三章 与众不同的数字：零 喧喧嚷嚷只为空 两个零？ 于是有了零 可以将零作为除数吗 零让托托头晕目眩 第四章 与众不同的数字：π 遥远的圆周率 违背理性之数？ 将数分类会如何 一个无解的……谜团 那欧米伽呢 圆周率的超越性 第五章 与众不同的数字：黄金数 比例小史 斐波那契，从兔子到“神奇”的数列 解释世界的数字 第六章 无穷：过山车式的眩晕 与其跑，不如动身早：无穷悖论 阿喀琉斯与乌龟 不断重复的级数 两个无穷 无穷符号 伽利略与无穷的困境 如何理解无穷 走近无穷，超越无穷 计算无穷 俄罗斯套娃般的无穷 无限的**个字母 从无穷到超越 无限之星 第七章 质数：不要整除以求zui好 了不起的质数 质数究竟是什么 逃脱还是躲避 质数，从原始人到外星人 数学“原子” 一共有多少“质数” **个不会是zui后一个 寻找“质数” zui大的谜题 梅森对“质数”的追逐 谜题仍然存在…… 是谁藏在质数的背后 第八章 非欧几里得几何的丑闻：空间的颠覆 这显而易见，我亲爱的欧几里得 欧几里得的世界 重获人心的非欧几何 我们的世界是欧几里得式的吗 过时的欧几里得 曲率和维数：当心混淆 非欧几何的开拓者 地图与领土 平行线问题 几何学家与作曲家 爱因斯坦：1- 欧几里得：0：非欧几何的问世 世界的形状 欧几里得几何，信或不信 第九章 不要再增加了!有多少个维度 通往多维空间的大门 我的平面国 寻找第四维度 维数的膨胀 第十章 另一种视角看空间：拓扑学 另一种空间观 清晨的拓扑学 拓扑学的诞生：无法走过的“哥尼斯堡桥” 拓扑学的诞生：团结一致的立体 长久的悬念 拓扑珍奇屋 第十一章 微积分：挑逗极限 定夺胜负：牛顿与莱布尼茨相距一毫 艾萨克·牛顿，一个全能型的天才 牛顿：宇宙的破译者 通过极限解决 与此同时，在欧洲大陆上…… 不一样的战斗 德国—英国：平局？ 解密宇宙的微小之物 第十二章 混沌理论：方程中的机遇 时钟里的一粒沙 天体之舞 前路为何不可知 可能掌握混沌吗 在混沌中求生？ 气候中的混沌：蝴蝶效应 奇异吸引子 第十三章 分形：宇宙的几何形状？ 混沌的面貌 分形新世界 分形史前史 分形之形 分形：超越逗号的维度 分形海岸：无穷的海岸线 硅的启示 无处不在的分形 无穷中的无穷 第十四章 永远无法闭合的圆：不完备性 再造乾坤 **条裂痕：侵蚀逻辑的悖论 说谎者悖论 “我们必须知道，我们终将知道！” 数学幻梦 希尔伯特计划的双重困境 不完备性：机器中的幽灵 阿兰·图灵登场 第十五章 数学机器：数学还存在吗 利用手指、石子及尺子计数 计算机：具象化的数学 真实的机器，梦想中的机器 进步的机器 机器之战及**批计算机 编（解）码的考验 一个与众不同的苹果 数学家是否怀有人工智能之梦 超越可计算范围？量子计算机 所有这些都是数学 附录