《高等数学选讲与考研辅导》是高等数学课程教学内容的拓展与延伸,除了有巩固教学内容的辅助功能外,兼可拓宽高等数学知识,与课堂教学内容同步,便于自学,加深学生对教学内容的理解和应用,例题选讲一般具有多个知识点的综合性,每章节都配有练习题,*后还精选了部分历年的考研试题,以供学生考研前练习,《高等数学选讲与考研辅导》内容包括:函数、极限、连续,导数与微分,微分中值定理与导数的应用,一元函数积分学及其应用,微分方程,向量代数与空间解析几何,多元函数微分法及其应用,多元函数积分学及其应用,无穷级数,综合练习题精选,另外,还附有练习题参考答案。《高等数学选讲与考研辅导》可作为高等数学的配套教材,并可供硕士研究生入学考试的备考者在复习相关知识时学习使用。

**章 函数极限连续 本章的知识点与重难点概要 1.函数是微积分研究的对象,函数部分的知识点和重难点:函数的定义域、复合函 数、反函数、分段函数和函数的性质. 2.极限是微积分的理论基础,研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连 续、导数、定积分、无穷级数等.极限部分的知识点和重难点是求极限. 3.无穷小是极限为零的特殊变量,极限问题可以归结为无穷小问题.无穷小的知识 点和重难点:无穷小的比较、无穷小的阶、用等价无穷小替换求极限. 4.我们研究的对象是连续函数或除若干点外是连续的函数.由于函数的连续性是通 过极限来定义的,判断函数是否连续以及函数间断点的类型等问题本质上仍是求极限.因 此,函数连续性的知识点和重难点:掌握间断点类型的判断方法,特别是分段函数在分段 点的连续性,以及连续性的应用. 5.函数的许多性质与���续性有关,要掌握有界闭区间上连续函数的性质:有界性定 理,*大值、*小值定理,介值定理与零点存在性定理,**是会应用这些性质. **节 函数与性质 一、内容选讲概述 【函数的定义】 设D是一个给定的数集,如果对每一x∈D,按照一定的法则总存在**确定的值y 与之对应,则称y是x的函数,记为y=f(x).其中x称为自变量,y称为因变量;数集D 称为该函数的定义域,W={yy=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的值域. 函数定义有两个要素:定义域和对应法则.当两个函数的定义域和对应法则完全相同 时,这两个函数相同. 另外,函数的表示具有与字母的无关性,即y=f(x)与s=f(t)可表示同一个函数. 【复合函数】 设函数y=f(u)的定义域为U,函数u=φ(x)的定义域为D.如果函数u=φ(x)值域是 U的子集,则称y=f[φ(x)]是定义在D上的复合函数.其中u称为中间变量.若u= φ(x)值域不含在y=f(u)的定义域内,则u=φ(x)与y=f(u)不能复合. 【反函数】 设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W.如果对每一y∈W,都存在**的x∈D, 使得y=f(x),这样就得到了定义在W上、值域为D的函数,称为函数y=f(x)的反函 数,记为x=f-1(y),习惯上记为y=f-1(x). 【初等函数】 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函 数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成的函数,称为初 等函数. 分段函数一般不是初等函数,但也存在分段函数是初等函数的情形.如函数 y=-x, x≤0 x,x>0 是初等函数,因为它可以用一个式子y=x=x2表示. 【函数的性质】 (1)奇偶性:设函数f(x)定义域D关于原点对称,若对任意的x∈D,都有f(-x)= f(x),则称f(x)为偶函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇 函数. (2)周期性:设函数f(x)的定义域为D,若存在l≠0,使得对任意的x∈D,都有x+l ∈D,且f(l+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.其中l称为周期.通常把周期函数f(x) 的*小正周期函数称为f(x)周期. (3)有界性:设函数f(x)的定义域为D,若存在M>0,使得对任意的x∈D,都有 f(x)≤M,则称f(x)为D上的有界函数;否则称为无界函数. (4)单调性:设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D,当x1f(x2),则称f(x)在D上是严格单调减少 函数. 二、例题选讲 1.求函数定义域例题选讲 例1 求函数f(x)=1 lg(3-x)+49-x2的定义域及f[f(-7)]. 解 要使f(x)有意义,则应有 3-x>0 3-x≠1 49-x2≥0, 解之得-7≤x<2,20 2-x≠0, 解之得-21.于是f(x)+ f2 x的定义域为(-2,-1)∪(1,2). 注 求函数的定义域,通常是指函数有定义的自变量变化范围. 2.复合函数例题选讲 例3 已知f(x)= 1,x≤1 0,x>1 , g(x)= 2-x2,x≤1 2,x>1 ,求f[g(x)]和 g[f(x)]. 解 f[g(x)]= 1,g(x)≤1 0,g(x)>1 , 由g(x)= 2-x2,x≤1 2,x>1可知:当x>1 时,g(x)=2;当x≤1时,根据g(x)=2-x2,得1≤g(x)≤2,所以 f[g(x)]= 1,g(x)≤1 0,g(x)>1 =1,x=1 0,x≠1. 又因为g[f(x)]= 2-f2(x),f(x)≤1 2,f(x)>1 ,由f(x)= 1,x≤1 0,x>1可知 f(x)≤1,所以 g[f(x)]= 1,x≤1 2,x>1. 3.函数奇偶性例题选讲 例4 设函数f(x)满足方程2f(x)+f1 x=a x(a为常数),证明:f(x)是奇函数. 证明 用 1x代换原方程中的x,得 2f1 x+fx=ax, 与原方程联立方程组,解得 f(x)=a32x-x.由于f(-x)=a 32-x+x=-a 32x-x=-f(x), 所以f(x)是奇函数. 例5 (1)判断函数f(x)=ax-1 ax+1[ln(1-x)-ln(1+x)]的奇偶性(a>0且a≠1); (2)若f(x)= φ(x),x<0 0,x=0 x-1 x,x>0 在(-∞,+∞)内是偶函数,求φ(x). 解 (1)因为 f(-x)=a-x-1 a-x+1[ln(1+x)-ln(1-x)] =1-ax 1+ax[ln(1+x)-ln(1-x)] =ax-1 ax+1[ln(1-x)-ln(1+x)]=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)f(x)在(-∞,+∞)内是偶函数,当x<0时,-x>0,那么 φ(x)=f(x)=f(-x)=-x-1 -x=1 x-x. 例6 证明:定义在关于原点对称区间上的函数f(x)可以表示为奇函数与偶函数 之和. 证明 令g(x)=1 2[f(x)+f(-x)],h(x)=1 2[f(x)-f(-x)].因为 g(-x)=1 2[f(-x)+f(x)]=g(x), h(-x)=1 2[f(-x)-f(x)]=-1 2[f(x)-f(-x)]=-h(x), 所以g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.又 g(x)+h(x)=1 2[f(x)+f(-x)]+1 2[f(x)-f(-x)]=f(x), 所以f(x)可以表示为奇函数与偶函数之和. 4.求反函数例题选讲 例7 求函数f(x)= x2-1, 01 ,求f[f(x)]. 3.设f(x)=ex,x>1 2x,x≤1 ,φ(x)=sinx, x>0 x2,x≤0 ,求f[φ(x)]. 4.对每一x∈(-∞,+∞),都有fx+12 =1 2+f(x)-f2(x),证明f(x)是以1 为周期的周期函数. 5.求f(x)=x2+1,x≥0 x+1,x<0 的反函数. 6.判别函数f(x)=ln(x+1+x2)的奇偶性. 7.已知f(x),g(x),h(x)均为单调增加函数,且g(x)≤f(x)≤h(x),证明: g[g(x)]≤f[f(x)]≤h[h(x)]. 8.证明函数f(x)=1 xarctan1 x是无界函数. 第二节 极限及其计算 一、内容选讲概述 【数列极限】 设数列{xn},若存在常数a,使得对橙ε>0,总存在自然数N,当n>N时,都有 xn-a<ε成立,则称a为数列{xn}的极限,记为limn→∞xn=a. 若limn→∞xn=a,则对{xn}的任意子列{xnk},都有limk→∞xnk=a. 反过来,若存在{xn}的某子列,其极限不存在,或存在{xn}的某两个子列,其极限存 在但不相等,那么数列{xn}的极限不存在. 另外,数列{xn}的某几个子列的极限存在且相等,也不能断定数列{xn}的极限存在. 但有下列结论: 若x2k-1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),那么limn→∞xn=a. 【函数极限】 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,若存在常数a,使得对橙ε>0,总存在 δ>0,当00和M>0, 当00(或a<0),则存在δ>0,当00[或f(x)<0]. 另外,若存在δ>0,使得当00[或f(x)<0],那么函数 f(x)在x→x0时的极限a≥0(或a≤0). 其他类型的极限具有相同的性质,在此略述. 【极限四则运算】 设limf(x)=a,limg(x)=b,则 (1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=a±b; (2)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=a?b; (3)当limg(x)=b≠0时,limf(x) g(x)=limf(x) limg(x)=a b. 上述极限四则运算法则中lim是指x→x0,x→x- 0,x→x+ 0以及x→∞,x→-∞,x→+∞ 时的极限.对于数列也有相同的极限四则运算性质.

前言
**章 函数极限连续
**节 函数与性质
第二节 极限及其计算
第三节 无穷小与无穷大
第四节 函数的连续性
总练习题一
第二章 导数与微分
**节 导数的概念与求导法则
第二节 高阶导数
第三节 一元函数的微分
总练习题二
第三章 微分中值定理与导数的应用
**节 微分中值定理与泰勒公式
第二节 洛必达法则
第三节 函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点
第四节 曲线的作图、曲率
总练习题三
第四章 一元函数积分学及其应用
**节 不定积分
第二节 定积分与反常积分
第三节 定积分的应用
总练习题四
第五章 微分方程
**节 一阶微分方程
第二节 可降阶的高阶微分方程
第三节 高阶线性微分方程
第四节 差分方程
总练习题五
第六章 向量代数与空间解析几何
**节 空间直角坐标系与向量代数
第二节 曲面与平面及其方程
第三节 空间曲线与直线及其方程
总练习题六
第七章 多元函数微分法及其应用
**节 多元函数的基本概念
第二节 偏导数与全微分
第三节 多元复合函数和隐函数的微分法
第四节 方向导数、梯度
第五节 多元函数微分法在几何上的应用
第六节 多元函数的极值及其求法
总练习题七
第八章 多元函数积分学及其应用
**节 重积分
第二节 重积分的应用
第三节 曲线积分
第四节 曲面积分
总练习题八
第九章 无穷级数
**节 常数项级数的概念和性质
第二节 幂级数
第三节 傅里叶级数
总练习题九
综合练习题精选
参考答案
参考资料

《高等数学选讲与考研辅导》是高等数学教学内容的延伸与补充,除了兼有复习高等数学教学内容的功能外,又兼有拓宽高等数学知识的功能;既可以作为,高等数学素质拓展课程的教材,又可以作为高等数学部分的考研教材;与课堂教学内容同步便于自学,加深对高等数学教学内容的理解和应用;选讲的例题突出多个知识点的综合性,技巧性与解题思路;每章、节后面都附有练习题,《高等数学选讲与考研辅导》*后还附有综合练习题。《高等数学选讲与考研辅导》内容包括:函数、极限与连续,导数与微分,微分中值定理及应用,一元函数积分学,微分方程,向量代数和空间解析几何,多元函数微分学,多元函数重积分学,无穷级数。