方程和不等式是反映事物间量化关系的基本形式,其中,方程表示等量关系,而不等式表示比较关系。在数学运算中,可能会涉及一元(即含一个未知数)方程或多元方程(组)。不过它们几乎都是一次方程或方程组,如7x+4y=20,这样的方程运算只涉及加减乘除,对运算的要求并不高,考生经过学习都可以解决。对于很多文字应用题,如和差倍比问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等,列方程是基本的解题方法,除此以外,对于我们将要介绍的其他题型,如行程问题、比例问题、费用问题、容斥问题等都可以利用方程法来解决;而不等式往往会结合数字特性来解决。值得注意的是,在一些题目中,因节约时间、简化计算的需要,方程法并不是方法,但是作为基本的方法,我们一定要熟练掌握。
一、一元方程
一元方程主要用于只设一个未知数就能列方程求解的数学题型,多为一次方程。这种方法的技巧在于选择合理的未知数,一般应设题目所求量为未知数。
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例1(2018联考
公务员联考是指全国若干省(市、自治区)共同举行的、考试时间、试卷内容基本相同、模块顺序有所不同的考试。联考试卷主要针对的是公共科目《行政职业能力测验》和《申论》两科。次公务员联考是2009年4月26日,陕西、湖北和天津三地使用试卷相同,此后每年参加公务员联考的地方数量不一。举行于每年4月的上半年联考成为主流,而举行于每年9月的下半年联考参加的地方逐年减少。2018年上半年联考时间为4月21日。
)小张家养了一只大狗和一只小狗。现在,小狗的体重只有大狗的一半。如果两只狗的体重各增加5千克,那么小狗的体重将达到大狗的60%。据此可知,若两只狗的体重各增加10千克,小狗、大狗的体重比将会是()。
A. 1∶2B. 2∶3
C. 3∶4D. 4∶5
解析步,标记量化关系“一半”、“增加”、“达到”。
第二步,假设小狗的重量为x,则大狗的重量为2x,由题意可列方程x+5=(2x+5)×60%,解得x=10千克。可知小狗重10千克,大狗重20千克。
第三步,若各增加10千克,则体重比将会是10+1020+10=23,因此,选择B选项。
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例2(2017浙江)小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定,每送达1枚完整无损的鸡蛋,可得运费0.1元;若有鸡蛋破损,不仅得不到该枚鸡蛋的运费,每破损一枚鸡蛋还要赔偿0.4元。小明10月份共运送鸡蛋25000枚,获得运费2480元。那么,在运送过程中,鸡蛋破损了()。
A. 20枚B. 30枚
C. 40枚D. 50枚
解析设破损的鸡蛋为x枚,由题意可列方程,(25000-x)×0.1-0.4x=2480,解得x=40,即破损了40枚鸡蛋。故本题选C。
二、多元方程
多元方程,这里是指设两个及以上未知数列方程求解的数学运算题型。一个多元一次方程不能求出的解,因此多元方程问题往往以方程组的形式解题,而求解方程组的重要思想是消元,于是在实际解题过程中,通过适当放大和缩小题目中的条件,然后从等价关系中找到所求量成为快速解题的思路。
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例1(2018联考)有一项测验由20道单选题组成,每道题有A、B、C、D四个选项。回答正确1道题得2分,回答错误1道题倒扣1分。若20道题全部选择A,得分将为-5分;若全部选B,得分将为4分;若全部选C,得分将为1分。那么该项测验中正确答案为D项的题目有多少道?()
A. 0B. 2
C. 3D. 4
解析步,标记量化关系“倒扣”。
第二步,设正确答案为A、B、C的题目个数分别为x,y,z,由全部选A得分为-5可得2x-20-x=-5,同理可得2y-20-y=4,2z-20-z=1,解得x=5,y=8,z=7。
第三步,正确答案为D的题目共有20-5-8-7=0道。因此,选择A选项。
解法二:
若将每道题四个选项分别选一次,得分为2-3×-1=-1,则20题每个选项都选择一次则终得分为-20,则全部选择D的终得分为-20--5+4+1=-20,即正确答案为D的题目为0道。因此,选择A选项。
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例2(2016联考)某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别,已知学院男生人数占总人数的30%,且音乐系男女生人数之比为1∶3,美术系男女生人数之比为2∶3,问音乐系和美术系的总人数之比为多少?()
A. 5∶2B. 5∶1
C. 3∶1D. 2∶1
解析方法一:方程法。根据男女人数比,可以假设音乐系人数为4x,美术系人数为5y,那么根据男生人数占总人数的30%,可列方程(x+2y)∶(4x+5y)=3∶10,可以解得x∶y=5∶2;那么音乐系与美术系总人数之比为4x∶5y=20∶10=2∶1,答案选D。
方法二:十字交叉法。根据音乐系男女生人数比为1∶3,其中男生比重为25%;美术系男女生人数比为2∶3,其中男生比重为40%,总人数中男生比重为30%。所以可以使用十字交叉法:
30%音乐系:25%
美术系:40%
10%
5%
所以音乐系总人数美术系总人数=10%5%=21。故答案为D。