本书是与清华大学出版社2017年出版的《概率论与数理统计(第2版)》(张艳、程士珍主编)教材相配套的学习辅导书.内容包括该书各章的知识点、典型例题、习题与综合练习题全解,另外,还配有大量的训练题及参考答案,以供考研学生提升解题技巧.本书注重体现概率统计的思想方法与基本内容,强调对学生解题方法与能力的培养,力求做到深入浅出,通俗易懂,便于教学与自学. 本书既可以作为高等院校概率论与数理统计的教学参考书,也可以作为数学爱好者学习概率统计的补充读物.

第3章多维随机变量及其分布知识点〖*1〗一、 二维随机变量及其分布函数1. 二维随机变量的定义定义1设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}.设X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量.
常用的二维随机变量分为两大类: 离散型和连续型.
2. 二维随机变量的联合分布函数
定义2设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或X与Y的联合分布函数.
3. 二维随机变量联合分布函数的性质
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质如下:
(1) F(x,y)关于x(或y)单调不减;
(2) 0≤F(x,y)≤1,且F(-∞,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F( ∞, ∞)=1;(3) F(x,y)关于x(或y)右连续;
(4) 若(x1,y1),(x2,y2)∈R2,x1<x2,y1<y2,则有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1) F(x1,y1)≥0.二、 二维离散型随机变量及其联合分布律1. 二维离散型随机变量的定义定义3如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)是离散型二维随机���量.
2. 二维离散型随机变量的联合分布律
如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj),i,j=1,2,…,则称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…
为二维离散型随机变量的分布律,或X与Y的联合分布律,也可以用表格表示为X

Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2… yjp1jp2j …pij…
3. 二维离散型随机变量联合分布律的性质
二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律的性质如下:
(1) pij≥0,i,j=1,2,…;
(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
二维随机离散型变量(X,Y)分布函数与分布律的关系为F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij,其中,∑xi≤x∑yj≤ypij表示对不大于x的xi和不大于y的yj所对应的pij求和.
三、 二维连续型随机变量及其概率密度1. 二维连续型随机变量定义及其联合概率密度定义4设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数,如果存在非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y都有F(x,y)=∫x-∞∫y-∞f(u,v)dudv,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或X与Y的联合概率密度.
2. 联合概率密度的性质
二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性质:
(1) f(x,y)≥0;
(2) ∫ ∞-∞∫ ∞-∞f(x,y)dxdy=F( ∞, ∞)=1;
(3) 若f(x,y)在点(x,y)处连续,则有2F(x,y)xy=f(x,y);(4) 设D为xOy平面上任一区域,点(X,Y)落在D中的概率为P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.四、 边缘分布1. 边缘分布函数设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,则FX(x)=F(x, ∞),FY(y)=F( ∞,y)为关于X和Y的边缘分布函数.
2. 边缘分布律
设二维离散型随机变量的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…,则P{X=xi}=∑∞j=1pij=pi·,P{Y=yj}=∑∞i=1pij=p·j,i,j=1,2,…为关于X和Y的边缘分布律,边缘分布律也可以写在分布律表格的下边和右边,如下表所示:X

Yx1x2…xi…P{Y=yj}y1p11p21 …pi1…p1y2p12p22 …pi2…p2yjp1jp2j …pij…pjP{X=xi}p1p2…pi…1
3. 边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则fX(x)=∫ ∞-∞f(x,y)dy和fY(y)=∫ ∞-∞f(x,y)dx分别为关于X和关于Y的边缘概率密度.
五、 条件分布
当二维随机变量中的一个随机变量具有附加条件时,需要探讨另一个随机变量的条件分布.
离散型二维随机变量的条件分布律为pij=P{X=xiY=yj}=pijp·j,其中P{Y=yj}=p·j>0,和pji=P{Y=yjX=xi}=pijpi·,其中P{X=xi}=pi·>0.条件分布函数为F(xyj)=P{X≤xY=yj}=∑xi≤xpij,其中P{Y=yj}=p·j>0,和F(yxi)=P{Y≤yX=xi}=∑yj≤ypji,其中P{X=xi}=pi·>0.二维连续型随机变量的条件分布函数为F(xy)=P{X≤xY=y}=∫x-∞f(u,y)fY(y)du,其中fY(y)>0,和F(yx)=P{Y≤yX=x}=∫y-∞f(x,v)fX(x)dv,其中fX(x)>0.二维连续型随机变量的条件概率密度为f(xy)=f(x,y)fY(y),其中fY(y)>0,和f(yx)=f(x,y)fX(x),其中fX(x)>0.六、 随机变量的独立性
定义5设(X,Y)为二维随机变量,如果对于任意的实数x,y都有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y},即F(x,y)=FX(x)·FY(y)成立,则称随机变量X与Y是相互独立的.
定理若(X,Y)为二维离散型随机变量,则X与Y相互独立pij=pi·pji,j=1,2,…若(X,Y)为二维连续型随机变量,则X与Y相互独立x∈R和y∈R,有f(x,y)=fX(x)·fY(y).七、 二维随机变量函数的分布
已知(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y)是X,Y的连续函数,求Z的分布.
若(X,Y)为二维离散型随机变量,一般可用列举法求出Z的分布.
若(X,Y)为二维连续型随机变量,考虑下列两种情况:
(1) Z=X Y,则Z的概率密度为fZ(z)=∫ ∞-∞f(z-y,y)dy,或fZ(z)=∫ ∞-∞f(x,z-x)dx.若X与Y相互独立,则上述两式可写为fZ(z)=∫ ∞-∞fX(z-y)·fY(y)dy,或fZ(z)=∫ ∞-∞fX(x)·fY(z-x)dx.上述两式称为卷积公式.
(2) M=max{X,Y}与N=min{X,Y}的分布.若X与Y相互独立,且边缘分布函数为FX(x)和FY(y),则FM(z)=FX(z)·FY(z),
FN(z)=1-[1-FX(z)]·[1-FY(z)].典 型 例 题〖*1〗一、 二维离散型随机变量相关问题例31一只袋中装有4只球,分别标有数字1,2,2,3,现从袋中任取一球后,再从袋中任取一球,用X与Y分别表示**次和第二次取到的球上标有的数字.分别在有放回和无放回条件下求:
(1) (X,Y)的分布律;
(2) X与Y的边缘分布律;
(3) X与Y是否相互独立.
解(1) 无放回条件下
由题可知在无放回条件下,Y的取值受到X取值的影响.X可能的取值为1,2,3,Y可能的取值为1,2,3.(X,Y)的分布律为P{X=i,Y=j}=P{Y=jX=i}·P{X=i}=pij,i,j=1,2,3.
P{X=1,Y=1}=P{Y=1X=1}·P{X=1}=0,
P{X=1,Y=2}=P{Y=2X=1}·P{X=1}=23×14=16,
P{X=1,Y=3}=P{Y=3X=1}·P{X=1}=13×14=112,
P{X=2,Y=1}=P{Y=1X=2}·P{X=2}=13×12=16,
P{X=2,Y=2}=P{Y=2X=2}·P{X=2}=13×12=16,
P{X=2,Y=3}=P{Y=3X=2}·P{X=2}=13×12=16,
P{X=3,Y=1}=P{Y=1X=3}·P{X=3}=13×14=112,
P{X=3,Y=2}=P{Y=2X=3}·P{X=3}=23×14=16,
P{X=3,Y=3}=P{Y=3X=3}·P{X=3}=0.X与Y的边缘分布律为P{X=i}=pi·=∑3j=1pij,P{Y=j}=p·j=∑3i=1pij,i,j=1,2,3.
P{X=1}=0 16 112=14,P{X=2}=16 16 16=12,
P{X=3}=112 16 0=14,P{Y=1}=0 16 112=14,
P{Y=2}=16 16 16=12,P{Y=3}=112 16 0=14.故分布律与边缘分布律表格为X

第1章随机事件的概率1 知识点1 典型例题4 习题详解10 训练题21 答案22 第2章随机变量及其分布23 知识点23 典型例题27 习题详解37 训练题60 答案63 第3章多维随机变量及其分布65 知识点65 典型例题69 习题详解77 训练题105 答案107 第4章随机变量的数字特征109 知识点109 典型例题112 习题详解118 训练题129 答案131 第5章大数定律及**极限定理132 知识点132 典型例题134 习题详解136 训练题144 答案145 第6章样本及抽样分布146 知识点146 典型例题149 习题详解151 训练题159 答案159 第7章参数估计160 知识点160 典型例题166 习题详解176 训练题192 答案193 第8章假设检验195 知识点195 典型例题199 习题详解203 训练题226 答案226 参考文献227