本书主要讨论经典李群方法在微分方程中的应用,内容涵盖了微分方程的李群方法的一些**研究成果．除绪论外,全书共6章,基本内容包括与李群方法相关的基本概念、多种类型微分方程的李群分析、偏微分方程守恒向量的构造和**解的求解,以及李群方法的其他应用．本书系统性强,各章节自成体系又相互联系．在内容叙述和安排上,尽量采用通俗易懂的语言,详略得当,论证详尽,便于读者全面了解和掌握相关内容．

目 录 绪论.1 0.1 李群方法的基本介绍 1 0.2 李群方法的基本作用 3 第 1 章 李群的基本概念与基本理论 4 1.1 李群的基本概念 4 1.1.1 李群的定义 4 1.1.2 无穷小变换 6 1.1.3 李**基本定理与无穷小生成元 7 1.1.4 正则坐标 14 1.2 微分方程延拓的无穷小生成元 16 1.2.1 常微分方程情形 16 1.2.2 偏微分方程情形 21 1.3 微分方程的不变解与不变性准则 32 1.3.1 微分方程的不变解 33 1.3.2 常微分方程的不变性准则.33 1.3.3 偏微分方程的不变性准则.36 1.4 李第二、第三基本定理与李代数 40 第 2 章 整数阶微分方程的不变解与**解 44 2.1 常微分方程在正则坐标下的**解.44 2.1.1 一阶常微分方程情形 .44 2.1.2 二阶常微分方程情形 .46 2.2 几类偏微分方程的不变解与**解.52 2.2.1 (1+1) 维热方程情形 52 2.2.2 组合 KdV-mKdV 方程情形 55 2.2.3 (3+1) 维 Yu-Toda-Sasa-Fukuyama 方程情形.60 2.2.4 广义 Kaup-Boussinesq 方程组情形 65 2.2.5 非线性广义 Zakharov 方程组情形.71 第 3 章 分数阶微分方程的李群理论 77 3.1 Riemann-Liouville 分数阶导数的基本概念.77 3.1.1 特殊函数 77 3.1.2 Riemann-Liouville 分数阶导数的定义和性质 78 3.2 几类分数阶微分方程的不变性准则.79 3.2.1 分数阶常微分方程情形.79 3.2.2 时间分数阶偏微分方程情形 84 3.2.3 时间分数阶偏微分方程组情形 91 3.3 几类��数阶微分方程的李群分析 93 3.3.1 分数阶 Riccati 方程情形 93 3.3.2 线性时间分数阶变系数偏微分方程情形 95 3.3.3 非线性时间分数阶对流扩散方程情形 99 3.3.4 非线性时间分数阶反应对流扩散方程情形 103 3.3.5 时间分数阶耦合 It^o 方程组的不变解 111 第 4 章 偏微分方程守恒向量的构造 115 4.1 整数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 115 4.1.1 共轭性概念 115 4.1.2 守恒向量定理 117 4.2 两类整数阶非线性偏微分方程的守恒向量构造 121 4.2.1 拓展的 (2+1) 维量子 Zakharov-Kuznetsov 方程情形 121 4.2.2 变系数 Davey-Stewartson 方程组情形 124 4.3 时间分数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 130 4.3.1 共轭性概念 131 4.3.2 守恒向量定理 133 4.4 几类时间分数阶偏微分方程的守恒向量构造 134 4.4.1 时间分数阶耦合 It^o 方程组情形 134 4.4.2 时间分数阶变系数耦合 Burgers 方程组情形.136 4.4.3 时间分数阶广义 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 方程组情形.138 4.4.4 时间分数阶耦合 Hirota 方程组情形 140 第 5 章 偏微分方程基于守恒向量的**解求解 145 5.1 具有外部源的各向异性非线性扩散方程的**解 145 5.1.1 非线性自共轭 145 5.1.2 守恒向量约化 148 5.1.3 稳态及非稳态**解求解 152 5.1.4 修正守恒律下的**解.157 5.2 具有外部源的各向异性波动方程的**解 158 5.2.1 非线性自共轭 158 5.2.2 守恒向量约化 161 5.2.3 三角函数型**解求解.164 5.3 一类非线性色散演化方程组的**解 165 5.3.1 非线性自共轭 166 5.3.2 守恒向量构造 167 5.3.3 **解求解 169 第 6 章 李群方法的其他应用 172 6.1 双平方根利率期限结构方程的李群分析.172 6.1.1 无穷小生成元 173 6.1.2 不变解求解 173 6.2 Novikov 方程基于不变解的单尖峰孤子解 177 6.2.1 方程的李群分析 177 6.2.2 单尖峰孤子解 179 6.3 分数阶微分{积分方程的李群分析.182 6.3.1 不变性准则 182 6.3.2 无穷小生成元 185 6.3.3 基于核函数和自由项的李群分析 188 参考文献.191 附录 96 附录 A 无穷小生成元的 Maple 实现 196 A.1 组合 KdV-mKdV 方程情形 196 A.2 非线性广义 Zakharov 方程组情形.196 附录 B Bernoulli 型辅助方程法 197 附录 C tanh 函数型辅助方程法.198 附录 D 分数阶无穷小生成元相关推导 199