为什么蝉每隔17年才爬出地面？有没有一家旅馆的房间数量是无限的？怎样才能看到四维空间？如何破解一个棋局？π的小数有规律吗？ 在一对精通数学的师生眼中，每个奇妙的现象背后都可能蕴藏着美丽的数学原理，从这些悖论和谜题出发，谁都能够一步一步见证数学的魅力。而且他们相信，“如果你不能用日常语言解释一样东西，那你就是没有真正弄懂它”。 这是一次充满惊奇的智力之旅。天才少年主攻数学知识，作家老师则负责让故事通俗易懂，他们运用了大量形象的比喻和轻松有趣的语言，旨在为读者提供非常友好的阅读体验。在这次旅程中，读者可以了解现代数学的前沿，偶尔有些挑战，常常感到有趣，并且总会收获��奇。

1. 我们常遗忘数学的奇妙，因为我们习惯把数学等同于在学校和日常生活中用到的数字计算。但出人意料的是，我们的大脑很擅长数学思维，如果我们愿意的话，也能够完成十分复杂和抽象的数学计算。毕竟，早在几万年或几十万年前，我们的祖先无须解微分方程和学习抽象代数，也能活得足够长，并把基因传给下一代。当他们寻找下一顿饱腹之餐或栖身之所时，沉思高维几何或者质数理论也没有任何帮助。
2. 我们决定选择数学*不寻常、*奇特的一些领域来入手，并尽可能地与现实世界的问题及日常经验联系起来。我们约定不因为某些话题晦涩难懂就回避它，而把它看成某种“真言”，你如果不能用通俗的语言去解释，那就是没有真正理解它。
3. 拥有其他对手没有的智力、逻辑思考能力、提前计划和做假定推测的能力，是我们这个物种能出现并延续下来的原因。我们的祖先没有其他动物的生存特长，例如速度和力量，只能被迫依靠智慧和远见来生存。逻辑思维能力成为我们一项强大的**力，并由此逐渐发展出以复杂方式进行交流，用符号表示并理性地理解我们周围的事物的能力。
4. 有些数学领域看上去深奥难懂、异想天开，甚至毫无意义，像是一些奇怪而复杂的想象游戏，但数学本质上是实用之物，来源于商业、农业和建筑。它的发展方式已经远超我们祖先想象，但它的核心仍然与我们的日常生活有着密不可分的关联。
5. 我们无法感知比三维更高的维度，很容易认为第四维度在某种程度上神秘莫测，或者与我们知道的东西全都不一样。但数学家在处理第四维物体或空间时并未感到困难，因为他们不需要通过想象四维物体实际长什么样来描述它的属性。这些属性可以通过代数和微积分计算出来，而不必在脑海中费力进行多维的想象训练。
6. 如果你将一些贵重物品锁在保险箱里，四维视觉者不仅能一眼看见保险箱的所有侧面，还能看见里面所有的东西（当然，如果他选择的话，也能伸手摸到并拿走这些东西）。这并不是因为他拥有X 光一样穿透的视力来看穿保险箱的外壳，只是因为他能够多进入一个维度。就像在二维世界里的封闭空间，我们同样也有一种超凡的视觉。在纸上画一个正方形来表示一个二维的保险箱，在里面放上一些珠宝。一个存在于二维空间里的“平面国人”只能看到一个线条—只有保险箱外面的景观。我们从他的纸上世界的上方往下看，一眼就能看到构成保险箱的每一面和里面的所有物品，并能用手触碰到，把二维的珠宝拿出来。
7. 潜无限的概念使得我们误以为，只要继续沿着这条路走得够远或够长，就能接近无限。但情况绝非如此，继续在我们可以探索到的数字大小上增加并不会将我们带向无限。不管我们能数到多大一个数字，我们离无限的距离与数字1 离无限的距离是一样远的。换言之，无限其实就包含在每一个数字之中，不管这数字有多小。
8. 掷硬币被看作充分不可预测的事件，因此往往被用来当作常识，在只有两种可能性时，它被认为是一种公平的决策方式。但它是否真的是随机的呢？这取决于已知的条件。对于任何给定的投掷，假设我们能知道硬币抛出时具体所受的力和角度、旋转速率、空气阻力等，便能够（在理论上）准确预测出它落地时哪一面朝上。
9. 持悲观主义者的观点，即有一半以上的时间是涂了黄油的那一面会朝下落地。实验能够证明，如果面包被抛到空中——这只会发生在实验室里或食物大战时—它以混乱的方式落下的概率是50%，但如果面包从桌上或厨房柜台上滑落，或者从盘子里掉落，常常更可能是有黄油的一面着地。原因很简单：通常面包意外掉落的高度大概在腰部上下一英尺的位置，面包下落时有足够的时间翻转半圈，如果按照习惯的那样，黄油朝上，它更有可能着地后给地板留下黄油污渍。 10. 从某种意义上说，互联网在提供大量可学到的知识的同时，也伴随着无尽的谣言、掺杂着谎言的事实和纯粹的无稽之谈。正变得像博尔赫斯的图书馆——一个从深刻到荒谬的一切事物的仓库。甚至有些网站还会模仿通天塔图书馆，瞬间生成几页随机的字母，其中可能包括也可能不包括真正的单词或有意义的信息碎片。当我们被大量信息包围时，我们应该将谁或什么东西作为判定事实和理论的依据呢？归根结底，由于信息以数字的形式存在于电子处理器和存储器之中，这个答案必须去数学中找寻。
11. 在毕达哥拉斯的带领下，柏拉图发现音乐和天文学的密切联系：音乐向耳朵表达了简单的数字比例之美，而天文学是向眼睛来表达美。通过不同的感官，两者都表达了基于数学的内在统一性。两千多年以后，德国天文学家约翰尼斯·开普勒将音乐宇宙的概念向前推进一步，他将宇宙的基本形状与旋律音乐联系在一起。 12. 在无穷无尽的宇宙中，正在飘荡的旅行者号探测器上的金唱片中收录的音乐，哪些*能被外星人识别为音乐呢？有人认为应该是巴赫的音乐，因为它*遵循数学规律。巴赫的作品具有高度结构性，包括巧妙而复杂地运用复调来交织多个旋律线等，这会吸引任何遇到探测器的外星人的智慧和审美。
13. 蝉的生存依赖于生命周期的进化，它应该与捕食者的捕食周期重叠越少越好。如果有一个物种的生命周期是十五年，捕食者可以每三年或五年出现一次，将幼虫扫荡干净；也可以每六年或十年出现一次，在蝉第二次出现时杀死它们。然而，如果蝉的生命周期是十七年，那么如果捕食者生命周期少于十七年，那么捕食者可能连续十六年都没有捕到猎物，并因此饿死。 14. 数学领域有些命题的证明就是突如其来，毫无征兆。安德鲁·怀尔斯对费马*后定理的精彩证明就是这样。同样，这也发生在*近与孪生质数猜想有关的一项证明中。孪生质数猜想被广泛认为是正确的，即存在无穷多的孪生质数对。1849 年，法国数学家阿方斯·德·波利尼亚克进一步提出，对于任何可能的间隔大小（不一定是2），都存在无穷多的质数对。他提出这个观点以后，相关研究几乎毫无进展，直到2013 年，新罕布什尔大学一位中年讲师，在广泛的数学界默默无闻的张益唐发表了一篇令人震惊的论文。张益唐证明出存在一个小于7000 万的数字N，对于任何相差N 的间距，存在无穷多的质数对。这意味着，无论我们在巨大的越来越大的质数的遥远土地上走得多远，不管质数总体上怎么稀疏，我们总能找到相差间隔小于7000 万的无穷多的质数对。这使得我们相信，这个N 还可以大大减少；希望在更广泛的意义上，质数研究领域的一些重大突破即将到来。
15. 有时被称为悖论的东西实际上可能不是悖论，而是一个看似违背直觉的真实命题或一个看似显而易见的虚假命题。数学中有一个经典例子是所谓的“巴拿赫-塔斯基悖论”：你可以拿一个球，把它切成有限多个碎片，然后把它们重新组合成两个球，每个球的体积都和之前一样。这件事听上去有点疯狂……巴拿赫-塔斯基悖论没有给我们带来新的物理知识，但是它告诉我们大量的“体积”“空间”等听起来熟悉的事物，如何在抽象的数学世界中呈现出陌生的外表。
16. 大多数数学家并不只是为了定义巨大数字而执着于探索大数，就像他们努力拓展已知的π位数一样。对大数理论家来说，大数学是个娱乐竞技场，它是智力领域的男子气概体现以及纳斯卡赛车联赛一般的存在。同时，大数学也不是毫无用处。它暴露出我们目前数学领域的局限性，如同我们用世界上*大的望远镜窥探太空来推进物理的边界一样。
17. 有这么一个过时的玩笑，问：“什么是拓扑学家？”答：“一些分不清楚甜甜圈和咖啡杯的差别的人—或者更准确地说，一些根本不在乎它们差别的人。”在拓扑学中，甜甜圈和咖啡杯的形状是等价物，因为（假设它们是用黏土之类的物质制作出来的）其中一个形状可以逐步变形成另一个形状：咖啡杯的把手变成甜甜圈的洞，剩下的咖啡杯慢慢变成甜甜圈的圈。
18. 在普通几何学中，所有图形都被看作刚性的、不可改变的。一个正方形总是一个正方形，一个三角形总是一个三角形，一个图形永远不能突变成另一个图形。直线必须完全保持是直的，曲线保持是弯曲的。然而，在拓扑学中，形状可以失去其结构，变得灵活，但基本属性保持不变——前提是它们在任何点不被切割，或分开的部分也不被合拢。例如，一个正方形可以拉伸和变形，直到变成三角形，但是拓扑属性不变：两者被称为“同胚”。

【目录】 1.? 现实世界背后的数学?? 2.? 如何看到四维世界 3.? 概率很奇妙 4.? 混沌边缘的秩序 5.? 神奇的图灵机 6.? 太空音乐 7.? 神秘的质数 8.? 棋局能否破解？ 9.? 何为真，何为假？ 10.? 无法到达的彼岸 11.? *大的数 12.? 弯曲、伸展，怎样变化都可以 13.? 人与神的界限